В этом и состоит идея метода – исключить сложением одну из переменных.

Конечно, мы рассмотрели простой пример. Редко бывает, чтобы в двух уравнениях были слагаемые с одинаковыми (по модулю) коэффициентами. Поэтому нужно научиться приводить любую систему уравнений к эквивалентному виду, содержащему такие слагаемые. Как это сделать?

Вспомним, что при умножении и делении обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число получается эквивалентное уравнение, содержащее ту же информацию (с теми же корнями).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения на :

Получим:

Заметим, что уравнения содержат слагаемые и . Теперь уже можно воспользоваться методом сложения:

Подставим найденное значение в первое уравнение:

Получаем решение:

Ответ: .

Сформулируем алгоритм решения систему уравнений методом домножения и сложения:

1. Преобразовать уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной (если необходимо).
2. Сложить отдельно левые и правые части уравнений системы.
3. Решить уравнение с одной переменной.
4. Найденное значение переменной подставить в любое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод домножения и сложения

Пример 1. Решить систему уравнений:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получим следующую систему:

Складываем уравнения:

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ: .

Пример 2. Решить систему уравнений:

Упростим уравнения: избавимся от знаменателей:

Тогда получим:

Раскроем скобки при помощи распределительного закона:

Приведем подобные слагаемые:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получаем:

Складываем уравнения:

<

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ:

 

Пример 3. Решить систему уравнений:

Упростим при помощи распределительного закона :

Упростим выражения в уравнениях системы:

Получаем:

Раскроем скобки:

Приведем подобные слагаемые:

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а без них – в правую:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получаем:

Складываем уравнения:

Подставим найденное значение в первое уравнение системы:

Ответ: .

Решение систем линейных уравнений при помощи графиков