Именно поэтому метод называется «методом подстановки»: информацию из одного уравнения подставляем в другое.

Заменим во втором уравнении x на эквивалентное выражение из первого уравнения.

Получим:

Дальше всё то же самое: получили линейное уравнение с одной переменной y, которое мы уже умеем решать:

Как записывать ответ

Рассмотрим систему уравнений:

Её решением будет пара чисел: и .

Записать этот ответ можно по-разному:

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но все же запись является уравнением (так как содержит знак равенства).

Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).

Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел .

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в жизни. При желании можно изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.

Поиск в социальных сетях

Пример 1.

Представьте такую ситуацию. Вы в гостях у своего друга Пети познакомились с девочкой Женей и, уже вернувшись домой, решили найти её в социальной сети.

Вот что вы знаете:

1. Она подруга Пети.
2. Она тоже учится в 7 классе, хоть и в другой школе.
3. Её зовут Женя.
4. Она тоже живёт в Москве.

Каждое из этих условий в отдельности имеет очень много «решений». Друзей у Пети много, 7-классниц огромное количество, как и девочек с именем Женя.

Но так как все эти условия относятся к одному человеку, то это система условий:

Решением системы является такой человек, который соответствует сразу всем условиям. И решаем эту систему мы методом подстановки. Выбираем одно условие, затем в него подставляем другое (из всех решений, удовлетворяющих первому условию, выбираем только те, которые также удовлетворяют второму) и т. д.

Итак:

Открываете страничку Пети и выбираете список всех его друзей. Это решения первого условия. Предположим, их (см. рис. 1):

Рис. 1. Друзья Пети

Подставляем сюда второе условие. Раз она учится в классе, то её возраст от до лет. Количество решений уменьшилось до . (см. рис. 2):

Рис. 2. Друзья Пети в возрасте от до лет

Добавляем условие, которое мы изначально забыли, но нам его подсказала сеть, – пол. Женский. Осталось . (см. рис. 3):

Рис. 3. Девочки – подруги Пети в возрасте от до лет

Ещё одно условие – город проживания Москва. Осталось человек (см. рис. 4):

Рис. 4. Девочки – подруги Пети в возрасте от до лет, живущие в Москве

Наконец, вводим имя девочки – Женя. Осталось человека (см. рис. 5):

Рис. 5. Подруги Пети по имени Женя в возрасте от до лет, живущие в Москве

Итак, система имеет два решения, из них несложно выбрать нужного нам человека.

Мы последовательно в одно условие подставляли другое, и так раза, т. е. решали задачу методом подстановки.

Сформулируем алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.
2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
3. Решить уравнение с одной переменной.
4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод подстановки

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение

Выразим из первого уравнения:

И подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение – для начала раскроем скобки:

Таким образом, получим следующую систему:

Во втором уравнении получили очевидный факт – верное равенство. Эта запись не несёт никакой полезной информации для нас, мы её можем исключить. Тогда останется только первое уравнение.

Система эквивалентна одному уравнению:

,

а её решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.

Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

 

Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение

Выразим из первого уравнения:

Подставим выражение во второе уравнение:

Решим полученное уравнение с одной переменной – раскроем скобки, используя распределительный закон, и получим:

Таким образом, получим следующую систему:

Получили неверное числовое равенство. Т. е. уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос: при каких значениях переменных и : ?

Не существует таких значений. Делаем вывод: система не имеет решений.

Таким образом, если после подстановки мы получили неверное числовое равенство, то решений у системы нет.

Ответ: нет решений.

 

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение

Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем и подставляем во второе уравнение:

Получаем решение:

Ответ: .

Метод домножения и сложения

Пусть у нас есть двое уравновешенных весов. Если мы пересыпаем все с левых чаш на одну чашу других весов, а с правых – на вторую, то весы также будут уравновешены. Т. е. если сложить правые и левые части верных равенств, мы также получим верное равенство.

Как мы можем использовать это для решения систем линейных уравнений? Можно сложить уравнения системы. Зачем нам это делать? Если мы в результате избавимся от одной переменной, то получим линейное уравнение с одной переменной, которое мы умеем решать.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Мы видим, что уравнения содержат слагаемые и , которые взаимно уничтожатся при сложении.

Сложим отдельно левые и правые части уравнений системы:

Получаем:

Мы получили линейное уравнение с одной переменной, решим его:

Теперь подставим найденное значение в любое из уравнений системы, например в первое, и найдем :

Получаем решение:

Ответ: .