Задача 5. Определение площадей

 

Цель. Освоить методику вычисления размеров площадей земельных участков по координатам их вершин (аналитический способ) и научиться определять величину площади по карте с помощью планиметра (механический способ); ознакомиться с графическим способом определения площадей.

Пособия, материалы, приборы и принадлежности. Комплект учебных карт, полюсный планиметр, масштабная линейка, циркуль-измеритель, письменные и чертежные принадлежности, ЭКВМ.

 

Упражнения.

5.1. Вычислить площадь полигона по координатам его вершин, указанным на рис. 2 приложения.

 

5.2. Определить планиметром размеры лесного и непокрытого лесом участков полигона; определить величину и допустимость невязки; уравнять площади в пределах полигона.

 

Пояснения. В приложении к заданию для каждого варианта дана схема полигона. Используя подписи координатной сетки и приведенные на схеме условные знаки, найдите на карте вершины полигона. Проставьте около каждой вершины номера, которые должны возрастать по ходу часовой стрелки (рис. 17). Пользуясь поперечным масштабом и циркулем-измерителем, определите и запишите в таблицу, составленную по форме табл. 3, сокращенные прямоугольные координаты вершин.

 

Таблица 3

 

№ вершины	Координаты, м	Разности координат, м	Произведения, м^2
В системе шести­градусной зоны (сокращенные)	В условной системе	yi+1 – yi-1	xi-1 – xi+1	xi(yi+1 – yi-1)	yi(xi-1 – xi+1)
x	y	x	y
	2			5
	641706 5048 65504 64709 64127	11000 11061 11673 12959 12177	170 1048 1504 709	673 1959 1177	-1116 +673 +1898 +504 -1959	-921 -1334 +339 +1377 +539	-189 720 +705 304 +2 854 592 [phone]	-81 374 +228 147 +2 697 543 +634 403
							3 478 719	3 478 719
р = 3 478 719: 2 = 1 739 360 м^2 = 173,94 га

 

Чтобы не иметь дела с громоздкими числами, перевычисляют координаты в условную систему с осями параллельными линиями сетки карты. Начало этой системы выгодно поместить в точку, расположенную за пределами полигона вблизи его юго-западного угла. В табл. 3 начало условной системы перенесено в юго-западный угол квадрата 6411. Результаты вычитания из каждой абсциссы 64 000 м, а из каждой ординаты 11 000 м записаны в 3 и 4 графах табл. 3.

 

Рис. 17

 

Площадь полигона вычисляется по формулам:

 

p = ;

p = .

 

В соответствии с ними сначала необходимо составить разности ординат и абсцисс, записав их на соответствующих строках 6 и 7 граф ведомости. После этого перемножают на каждой строке числа, записанные в графах 4 и 6, 5 и 7. Полученные произведения записывают на тех же строках в 8 и 9 графах соответственно. Если вычисления сделаны правильно, то алгебраическая сумма всех чисел 6-й графы, также как и 7-й, равны нулю, а сумма чисел 8-й графы в точности равна сумме чисел 9-й графы. Последние представляют двойную площадь многоугольника.

 

До начала работы планиметром необходимо уяснить следующие положения.

1. Измерение площадей выполняют по хорошо разглаженной карте, закрепленной кнопками или грузиками на ровной и гладкой поверхности стола или чертежной доски.

2. Начиная работать с планиметром, закрепляют винт, фиксирующий основной счетный механизм на обводном рычаге, с помощью шкалы и верньера этого рычага определяют с точностью до 0,1 мм его длину (R), которую записывают в ведомости определения цены деления планиметра и измерения площадей.

3. Перед измерением какой-либо площади находят место размещения полюса планиметра. Для этого планиметр устанавливают на карте и предварительной обводкой (без снятия отсчетов) убеждаются, что при данном положении полюса счетное колесо не сходит с листа бумаги, а угол между рычагами не бывает меньше 30° и больше 150°.

4. Величину площади фигуры определяют по числу оборотов счетного колеса при обводе всей границы (контура) фигуры обводной точкой, находящейся на конце обводного рычага. Для этого на контуре выбирают (отмечают) какую-либо точку, совмещают с ней обводную точку планиметра, снимают и записывают отсчет u₁ со счетного механизма. Перемещают обводную точку вдоль контура по ходу движения часовой стрелки, доводят ее до исходного положения и снимают второй отсчет u₂. Разность отсчетов n = u₂ – u₁ дает число делений планиметра, соответствующее площади фигуры. Чтобы найти саму площадь P, надо знать цену деления C планиметра, т. е. площадь (в га, м²), соответствующую одному делению планиметра, и умножить ее на число делений n. Тогда площадь

 

P = C *n.

 

5. Цену деления планиметра определяют опытным путем на основе измерения планиметром на той же карте площади P₀, величина которой известна. Тогда

 

C = ,

 

где n₀ — число делений, пройденных счетным колесом при обводе контура площади.

6. Контур обводят плавно, без рывков, всегда по ходу часовой стрелки, не слишком медленно, но и не слишком быстро, чтобы проследить, переходит ли нуль циферблата через указатель; обводку контура начинают и заканчивают в одной и той же точке.

7. Каждый отсчет должен быть выражен четырехзначным числом (рис. 18 а): первая цифра (6) снимается со шкалы циферблата (номер младшего штриха, прошедшего указатель); вторая и третья снимаются со счетного колеса — номер младшего подписанного на колесе (2) и номер младшего неподписанного (1) штрихов, четвертая снимается с неподвижной шкалы верньера и представляет собой номер штриха этой шкалы (4), совпадающего с каким-либо штрихом счетного колеса.

8. Снятый со счетного механизма отсчет означает количество делений, пройденных счетным колесом от начала счета (нуля счетного механизма). За один полный оборот счетного колеса (1000 делений) циферблат перемещается относительно указателя на одно деление. Одному полному обороту циферблата соответствует 10 оборот счетного колеса, т. е. изменение отсчета на 10 000 делений.

 

 

9. При снятии отсчета с циферблата надо следить за тем, чтобы не сделать грубого просчета из-за люфта циферблата (см. рис. 18). Если на счетном колесе вблизи нуля верньера окажутся цифры 0, 1, 2, 3, то по циферблату отсчитывают цифру, расположенную ближе к острию указателя, а если 9, 8, 7 — то соседнюю младшую.

10. Если отсчет до обводки окажется больше отсчета после обводки, то к последнему добавляют 10 000, а при измерении больших площадей —10 000m, где m — число полных оборотов циферблата.

 

Непосредственная работа с планиметром начинается с определения цены его деления на том же листе карты, по которому будут измеряться площади при выполнении упражнения 5.2.

Рекомендуется в качестве площади известных размеров при работе по карте масштаба 1:10 000 брать один квадрат карты, изображающий один квадратный километр местности (100 га), а при работе на картах масштабов 1:25 000, 1:50 000 и 1: 100 000 — соответственно четыре (400 га), шестнадцать (1600 га) и девять (3600 га) квадратов.

Границы площади P₀ дважды обводят обводной точкой при положении полюса слева (ПЛ) и справа (ПП). Отсчеты берут по двум счетным механизмам (при использовании двухкареточного планиметра) до начала обводки, после первой обводки и после второй обводки.

Пример записей и вычислений приведен в табл. 4.

 

Таблица 4.

Определение цены деления планиметра № 18-352
R =152,3, карта 1:10 000, P₀ = 100га

 

Отсчеты по основному механизму	Разности отсчетов	Среднее из разностей	Отсчеты по допол­нительному механизму	Разности отсчетов	Среднее из разностей	Среднее из разностей показаний механизмов
ПЛ
					3365,5	3352,2
ПП
		3341,5			3365,5	3353,5
Среднее		3340,2			3365,5	3352,8

 

C = = 0,02983 га

 

Полученная цена деления пригодна только для данного планиметра, при данной длине обводного рычага (R) и при работе на карте того масштаба, для которого она определялась.

 

Измерение площадей. Сначала измеряют площадь лесного массива. На его контуре выбирают начальную точку, устанавливают на нее обводную точку планиметра при положении полюса слева (ПЛ). Снимают и записывают в ведомость измерения площадей (табл. 5) начальный отсчет по основному и дополнительному механизмам. Обводят контур леса обводной точкой и вновь снимают отсчеты с механизмов, записывая их в ведомость. Таким же образом обводят этот контур при положении полюса справа (ПП). Составляют четыре разности отсчетов, вычитая из отсчетов после обводки соответствующие отсчеты до обводки. Из полученных четырех разностей вычисляют среднюю. Умножением цены деления на среднюю разность отсчетов получают измеренную площадь.

Такими же приемами измеряют площадь смежного с лесным массивом участка. После этого подсчитывают сумму двух измеренных площадей.

 

 

Рис. 2.

 

Увязка площадей. Вследствие неизбежных погрешностей в работе планиметра и ошибок оператора сумма площадей угодий () не совпадает с общей площадью Р полигона, вычисленной аналитически, на некоторую величину f_р, называемую невязкой площади. Ее вычисляют по правилу

 

f_р = - P.

 

В данном случае суммы площадей, вычисленные в табл. 5 и 3 отличаются одна от другой на -0,55 га.

Невязка считается допустимой, если она не превышает 1/100 площади полигона.

Полагая, что вычисленная аналитически площадь полигона является величиною точной, возникает задача по введению поправок в площади, измеренные планиметром. Поправки в эти площади вводят пропорционально их величине со знаком, обратным знаку невязки. Для этого невязку делят на количества гектаров площади полигона, а частное от деления умножают на измеренную планиметром величину площади каждого угодия, округленную до целых га, получая поправки в каждую из площадей. Их сумма по абсолютному значению должна быть равна невязке.

Исправленные площади угодий получают путем суммирования измеренных площадей с поправками. Сумма исправленных площадей угодий должна быть в точности равна площади полигона.