Чисельні методи обчислення визначених інтегралів.????

При використанні методу прямокутпиків приблизне значення інтеграла визначається за формулою

 

де y_і - значення f(х) на початку кожного 1 -го інтервалу;

n- кількість відрізків, на які розділений діапазон інтегрування;

a - нижня межа інтегрування;

b - верхня межа інтегрування.

У методі трапеції інтервал інтегрування [а, b] поділяється на n рівних відрізків довжиною h= з наступним визначенням суми площин елементарних трапецій, що апроксимують підінтегральну функціюПриблизне значения інтегралу визначається за формулою

У методі Сімпсона інтервал інтегрування [а, b] поділяеться на парне число рівних відрізків довжиною h= . Означений інтеграл обчислюється як сума елементарних криволінійних трапецій за формулою

Етапи алгоритму:

• знаходження значень функції з парними індексами

• знаходження значень функції з непарними індексами

• обчислення інтегралу

Через х в алгоритмі позначений аргумент, що відповідає парним номерам індексів, а через

z -непарним номерам.

 

 

23. Методи приблизного розв'язання нелінійних рівнянь.

Припустимо маємо рівняння у=f(x),де функція неперервна на відрізку [a;b]

F(a)*f(b)>0

Для знаходження кореня рівняння ділимо відрізок навпіл х0=а+b/2, якщо при цьому функція у цій точці дорівнює 0, то х0 є коренем рівняння, якщо f(х0)≠0, то обираємо той відрізок [a;x0],[ x0;b]на кінцях якого f(x) має протилежні знаки. Обрані відрізки знову ділемо павпіл до того моменту поки довжина відрізку, на кінцях якого f(x) має протилежні знаки, не буде менше заданої точності Ԑ.

Алгоритм метода половинного ділення:

 

24. Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь.

Для вирішення диференціальних рівнянь I порядку використовуються методи Ейлера та Рунге Кутта.Особливість методів- для рішення диференціальних рівнянь треба знайти рішення функції, яка обчислюється циклічно.

У методі Ейлера кожне наступне значення функції y= f (x,y) обчислюється по формулі

y=(і+1)+ yі+ f (xі;yі)h

і=0,1,2….n

Аналогічно в методі Рунге Кутта:

і=0,1,2….n

 

Блок-схема алгоритму

Рунгі Кутта

	x = x+h/2

 

U=y+

 

 

x = x+h/2

 

 

	U=y+

x=x+

 

так

ні

 

25.Чисельні методи інтерполяції функції.

Постановка задачі.

Задача інтерполяції в загальному вигляді формулюється наступним чином. Нехай на відрізку [А,В] задані значення невідомої функції y=f(x) в n різних точках х₁,х₂,…,х_n. Потрібно знайти багаточлен Р(х) ступеню n приблизно виражаючий функцію y=f(x).

Геометрична інтерпретація метода.

Відповідні від х називаються вузлами інтерполяції.

F(x₁)=y₁

F(x₂)=y₂

F(x_n)=y_n

Поліном Ln(x) не вище ступеню n приймає в інтерполяції ті ж самі значення, що і функція. Відповідно

L_n(x₁)=y₁

L_n(x₂)=y₂

L_n(x_n)=y_n

Розглянемо задачу з використанням інтерполяційної формули Лагранжа.

F_j

; i≠j

S_j

Де x_i і змінюється від 1 до N – точки інтерполяції, y_i j змінюється від 1 до N – значення функції в точках інтерполяції.

N – кількість точок інтерполяції

z – значення аргументу при якому необхідно вичислити значення функції.

Алгоритмізація задачі.

Введемо переобозначення і представимо інтерполяційну формулу наступним чином

Визначемо додатково введені змінні

j=1…N

i=1…N i≠j

F_j+1=F_j•(z – x_i) F₀=1

S_j+1=S_j•(x_j – x_i) S₀=1

Отримана інтерполяційна формула дозволяє вирахувати приблизні значення функції F(x) в точках відмінних від вузлів інтерполяції.

Блок – схема алгоритму

 

2

 

 

	α =0 І=1

K=1

 

 

 

6

да

 

 

T=z(k)-x(I) P=x(J)-x(I) S=S*P/F=F*T   S=S*P 9

Ні

 

 

 

 

так

НІ

 

 

Методи обробки експериментальних даних.

Припустимо, що в результаті вимірювань отримана таблиця деякої залежності Х:

Х Х 1 Х2 Х3 Х4…Хn

F(x) y1 y2 y3 y4…yn

У даному випадку можна використати метод інтерполяції,побудувати інтерполяційний поліном (Лагранжа),значення якого в точках від Х1 до Хnбудуть співпадати з відповідними значеннями F(x) y1… yn. Для того,щоб з самого початку обов’язково враховувався характер початкової функції необхідно знайти функцію заданого виду y=f(x),котра в точках приймає значення як можна ближчі до табличних значень y1… yn

y

X

X1 x2 x3 x4 xn

F(x,a,b)=1/(ах+b)

A=P*G*B/N*F*G^2

G=ΣXi S=ΣYi P=ΣXiYi

F=ΣXi^2 M=ΣYi^2