Построение желаемой лачх. Определение устойчивости, расчет и построение переходной характеристики скорректированной системы.

Существует несколько инженерных расчетных методов синтеза систем автоматики, если понимать эту задачу ограниченно. Наиболее удобен и часто употребляется при инженерных расчетах метод логарифмических частотных характеристик проф. В.В. Солодовникова. Логарифмические характеристики строятся для разомкнутых систем.

, [1, стр.166] (21)

где L_ку(ω корректирующего устройства;

L_ж(ω) – ЛАЧХ желаемой системы;

L_исх(ω) – ЛАЧХ исходной системы.

Построим ЛАЧХ исходной системы.

Этой передаточной функции соответствует амплитудно-фазовая и амплитудно-частотная характеристики:

. [1, стр.64] (22)

Выражение для точной ЛАЧХ, исходя из этого выражения таково

. [1, стр.74] (23)

Сопрягающие частоты исходной ЛАЧХ находятся следующим образом:

[1, стр.75] (24)

,

,

Так как передаточная функция исходной разомкнутой системы относится к III типу, то для первого участка асимптотической ЛАЧХ, т. е. для ω<ω_с1=1,54 с^-1, уравнения асимптоты ЛАЧХ будет:

L_{1 исх} (ω)=32-20lgω

Это уравнение прямой линии с наклоном -20 дб/дек, проходящий при ω=1с через точку L_1исх(1)=32дб. Дальнейший ход асимптотической ЛАЧХ при увеличении частоты характеризуется тем, что на сопрягающих частотах ω_с1, ω_с2 и ω_с3 происходит изменения наклона характеристики каждый раз на -20дб/дек. (рис.7).

Рис. 7. ЛАЧХ исходной, желаемой САР и КУ

 

Теперь построим желаемую ЛАЧХ. т. е. ЛАЧХ устойчивой системы, отвечающей заданным требованием к качеству регулирования.

Определим сначала частоту среза (при σ=35%, b=4,4):

. [1, стр.162] (25)

Среднечастотный участок L_ж(ω) проходит через частоту среза с наклоном -20 дб/дек.

Длину среднечастотной асимптоты ограничим слева произвольной частотой ω^∆=0,1, с права – частотой ω_с1,т.е. ближайшей точкой излома L_исх(ω).

Низкочастотный участок L_исх(ω) и L_ж(ω) совпадают и осуществляется отрезком прямой с наклоном -20 дб/дек.

Высокочастотный участок желаемой ЛАЧХ содержит высокие гармоники и слабо влияет на переходный процесс в системе, поэтому ее (ЛАЧХ этого участка) вид может быть достаточно произвольным. Для большей простоты корректирующего устройства высокочастотный участок ЛАЧХ желаемой САР L_ж(ω) проводим параллельно с таким же участком исходной ЛАЧХ L_исх(ω).

Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ сопряжем с низкочастотным и высокочастотным участками желаемой ЛАЧХ асимптотами с наклоном – 40дб/деккаждый.

Построенная таким образом асимптотическая L_ж(ω) представлена на рис.7.

Найдем точку пересечения L_ж(ω) и L_исх(ω):

L_срж(0,1)=20lg0,95-20lg0,1=-20,45;

L_сопр(ω)=20lgK_сопр-40lg0,1=-20,45;

20lgK_сопр=40lg0,1-20,45;

20lgK_сопр=-60,45;

lgK_сопр=-3,02;

K_сопр=0,55;

20lg0,55-40lgω_*=32-20lg ω_*;

-5,19-40lgω_*=32-20lg ω_*;

-20lgω_*=37,19;

lgω_*=-1,86;

ω_*=0,003 (Т₃=1/ω_*=1/0,003=333,33с);

Передаточная функция разомкнутой желаемой системы может быть, исходя из L_ж(ω) записана следующим образом:

Желаемая замкнутая САР будет характеризоваться передаточной функцией:

Проверим, устойчива ли желаемая система. Поскольку уже построена L_ж(ω),устойчивость замкнутой желаемой системы удобнее оценить с помощью логарифмического критерия.

Базируясь на передаточную функцию разомкнутой желаемой САР, найдем фазовую частотную характеристику этой системы:

φ_ж(ω_срж)=-π/2+arctg10 ω_срж- arctg4,17 ω_срж –arctg0,65ω_срж –arctg0,04ω_срж –

-arctg0,3ω_срж=-90+84,3-75,12-31,7-0,04-15,91=-128,47;

При этом запас устойчивости по фазе будет:

γ=180-128,47=51,53>0,

значит, желаемая САР в замкнутом состоянии устойчива.

Для проверки соответствия показателей качества регулирования желаемой системы заданным требованиям построим переходную характеристику замкнутой желаемой САР h_3ж(t).

. [1, стр.167] (26)

Переходную характеристику замкнутой желаемой системы находим через MathCAD:

h_3ж(t)=0,033*e^-27,22t-0,001*e^-0,1t+0,34*e^-10,97t-0,69*e^2,64t*cos(6,2t)-

-0,16*e^2,64t*sin(6,2t) +1

Для построения графика переходной характеристики h(t) (рис.8), воспользуемся таблицей 2.

Таблица 2

t		0,855	1,346	1,241	1,133	1,078	1,035	1,002	0,999
h(t)

 

Рис. 8. График переходной функции h(t).

 

Из таблицы 2 видно, что t_p, т.е. время, после которого переходный процесс h_3ж(t) не выйдет из коридора [1, стр.161]:

(1±∆)Z_уст=(1±0,024)*1=0,976÷1,024,

составляет приблизительно t_p=14, что удовлетворяет заданию (t_пп≤14,5). Из таблицы можно посмотреть, что максимальное значение h(t)=1,346 получается при t=4,а значит перерегулирование желаемой системы будет:

[1, стр.161]

Таким образом, желаемая система устойчива и удовлетворяет поставленным требованиям к качеству регулирования.