Моделирование внезапных отказов

 

Построим интегральную функцию экспоненциального распределения:

(1)

где l — интенсивность отказов.

Интенсивность отказов рассчитывается по формуле:

(2)

где Т_ср — среднее время наработки на отказ.

Примем среднюю наработку на отказ устройства при отказе клапана Т_ср =30000 часов.

F(40000)=0,74	F(140000)=0,99
F(20000)=0,49	F(200000)=0,99
F(60000)=0,86	F(300000)=0,99
F(100000)=0,96	F(350000)=0,99

По расчетным данным построим интегральную функцию экспоненциального распределения. На оси абсцисс отложим время t в 3¸4 раза больше Т_ср. На оси ординат — значение функции F (t).

На основе метода «Монте-Карло» промоделируем вероятность случайных отказов. Выбрасываем с помощью генератора случайных чисел числовую последовательность R в диапазоне значений (0¸1).

Отложим каждое из чисел числовой последовательности R по оси ординат, проведем прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения с графиком функции F (t) и из точки пересечения опустим перпендикуляр на ось времени; таким образом, получаются значения времени, соответствующие каждому числу последовательности, приведенные в первой строчке табл. 2.1, которые называются реализацией времени функционирования устройства. Таких реализаций получим не менее 5 (1, 2, 3, 4, 5 строчки таблицы). Набор реализаций называется выборкой из 6´5 элементов.

 

F(t)

t·10³ ч

Рисунок 4. Интегральная функция экспоненциального распределения

 

Таблица 2

Временная выборка из пяти реализаций для шести элементов t ´10³ час

m n	Количество элементов	S t 0	S tобщ	S t 0/S tобщ
Количество реализаций
									0,058
									0,12
	10 (5)								0,039
	14(1)								0,188
Итого: 0,013

 

Далее временные значения t_i, приведенные в табл. 2, сравниваем с Т_ср /2, поскольку нас интересует поведение системы в первый полупериод эксплуатации. Затем получим время t ₀ нерабочего состояния элемента системы Х₁, выбирая лишь те случаи, когда t_i < Т_ср /2. Расчет производится по формуле:

(3)

Полученное значение t ₀ заносим в табл. 2, указав его в скобках, затем суммируем нерабочее время в единичной реализации t ₀ и берем отношение к сумме общего времени t_общ работы элемента в этой реализации. На основе полученных значений определим вероятность отказа элемента системы Х₁ для данной реализации по формуле:

(4)

и так для каждой реализации.

Вероятность отказа элемента системы Х₁ является средним арифметическим этих значений:

(5)

 

Моделирование постепенных отказов

 

Постепенные отказы подчиняются нормальному закону распределения. Интегральная функция нормального закона имеет вид:

(6)

где d — среднеквадратичное отклонение; a — математическое ожидание.

Для того, чтобы не рассчитывать интеграл, воспользуемся половинной функцией Лапласа и с ее помощью рассчитаем нормальный закон распределения по формуле:

(7)

где Ф (х) — половинная функция Лапласа;

х =(t - T_ср)/d, где

х — аргумент функции Лапласа;

t — время функционирования;

Т_ср — средняя наработка на отказ;

d — среднеквадратичное отклонение.

На рис. 2.6 представлен график половинной функции Лапласа.

Ф (Х)

Х

Рисунок 5. Половинная функция Лапласа

 

 

Рассчитаем интегральную функцию F (t) нормального распределения для Х₁ (износ манжет), задавшись Т_ср =286000 час., d=500, определим аргумент функции Лапласа и занесем данные в табл. 3.

 

 

Таблица 3.

Сводная таблица расчета интегральной функции нормального распределения

t´10^3, час.		284,5		285,5		286,5		287,5
Х	-4	-3	-2	-1
Ф(х)	-0,00016	-0,00012	-0,00008	-0,00004		0,00004	0,00008	0,00012	0,00016
F(t)	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

 

На основе расчетных данных табл. 3 построим график нормального распределения.

Процедура моделирования аналогична рассмотренной выше.

Полученные значения сравниваем с Т_ср, т. к. нас интересуют характеристики системы в первый период эксплуатации. В тех случаях, если t ₀< T_ср, находим нерабочее время t ₀ элемента системы Х_i по формуле . Затем, просуммировав время t ₀ по реализации, берем отношение t ₀ к суммарному времени функционирования элемента системы Х₅ в этой реализации . Вероятность отказа элемента системы Х₅ в данной реализации определяем по формуле:

Полный коэффициент отказа элемента системы рассчитывается как

 

R _X1=0,0012

R _X2=0,002

R _X3=0,0053

R _X4=0,0049

R _X5=0,0021

R _X6=0,006

R _X7=0,0013

для «ИЛИ»

для «И»

Рассчитаем коэффициент отказа системы R_кс по формуле:

 

(8)

 

где

 

отсюда R_кс =0,011.

 

Качественная и количественная оценка безопасности функционирования эргатической системы