Понятие о дифференциальном уравнении. Задача Коши

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

F(x,y,y',y'', …, y⁽ⁿ⁾)=0.

Определение 3. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

a₀(x)y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n-1(x)y⁽¹⁾ + a_n(x)y = f(x). (1)

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным - в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y'' - sin x y' + (cos x) y = tg x - линейное,

sin y' - cos y = ctg x - нелинейное,

y''' - y' = 0- линейное,

(y^IV)² - 3y''' + y = 1 - нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x), при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1. y' - f(x) = 0 , Пример 2. y'' = 0,

y' = f(x), y' = C,

y = ò f(x)dx + C. y = C₁x + C₂.

Определение 6. Решение дифференциального уравнения n-го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. y'' + y = 0.

y = C₁cos x + C₂sin x - общее решение.

у₁ = 3cos x -2sin x - частное решение.

Задача Коши

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений . Точка задаёт начальные условия.

Содержание [убрать] · 1 Различные постановки задачи Коши · 2 Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ · 3 См. также · 4 Литература

[править]Различные постановки задачи Коши

§ ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

§ Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система -го порядка)

§ ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными