Правительство Российской Федерации

Правительство Российской Федерации

 

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

 

 

Факультет Мировой Экономики и Мировой Политики

 

Программа дисциплины

 

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

 

для направления 38.03.01«Экономика» подготовки бакалавра

Специализация «Мировая экономика»

 

 

Автор программы: к.ф.-м.н. Молоствов В.С.

 

 

Одобрена на заседании департамента математики факультета экономических наук «_28_»_августа_2015 г.

 

Руководитель департамента Ф.Т. Алескеров

 

Рекомендована секцией УМС «Математические и статистические методы в экономике» «___»_____________20 г.

 

Председатель Шведов А.Г.

 

Утверждена УС факультета Менеджмента

«___»_____________20 г.

 

Ученый секретарь

 

 

Москва, 2015

 

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 38.03.01«Экономика» подготовки бакалавра по специализации «Мировая экономика», изучающих дисциплину «Методы оптимальных решений».

Программа разработана в соответствии с:

· Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;

· Образовательной программой 38.03.01, направление «Экономика» подготовки бакалавра;

· Рабочим учебным планом университета по направлению 38.03.01 «Экономика», специализация «Мировая экономика», подготовки бакалавра.

 

2 Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» являются:

• введение в математическую проблематику, связанную с применением количественных методов для принятия рациональных решений в экономике и других областях деятельности,
• знакомство с основными классами оптимизационных математических моделей,
• выработка навыков построения математических моделей для практических задач принятия решений,
• овладение методами нахождения оптимальных решений.

 

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

· Знать основные математические методы анализа решений.

· Уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей, самостоятельно находить и использовать дополнительную информацию в данной предметной области,

· Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.

 

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

 

 

Код компетенции по порядку	Код компетенции по ЕКК	Формулировка компетенции
ПК-11	ИК-Б1.1_4.1_4.3АД_НИД(Э)	Способен осуществлять сбор, анализ и обработку статистических данных, информации, научно-аналитических материалов, необходимых для решения поставленных экономических задач;
ПК-12	ИК-6	Способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы;
ПК-13	ИК-7	Способен на основе описания экономических процессов и явлений строить теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты;
ПК-17	ИК-4.1_4.2_4.3_4.4_4.6АД_НИД(Э)	Способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии;

 

4 Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин, является базовой для студентов 2-го курса (3-й и 4-й модули учебного плана подготовки бакалавра по направлению 38.03.01 «Экономика» по специализации «Мировая экономика».

 

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

· Математический анализ

· Линейная алгебра

 

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

· знание элементарной математики

· умение решать системы линейных и нелинейных уравнений

· знание дифференциального исчисления

 

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

· Макроэкономика,

· Микроэкономика,

· Теория отраслевых рынков,

· Экономика общественного сектора,

· Институциональная экономика,

· Эконометрика,

· Макроэкономическое планирование и прогнозирование.

· Фондовый рынок и финансовый менеджмент.

5 Тематический план учебной дисциплины

 

№	Наименование темы	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоятельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
	Третий модуль
	Введение. Математические методы и модели в принятии решений
	Линейные оптимизационные модели и линейное программирование
	Модели и методы целочисленного линейного программирования
Всего
	Четвертый модуль
	Нелинейные оптимизационные модели и нелинейное программирование
	Многокритериальное принятие решений
	Принятие решений в условиях неопределенности
Всего
Итого

 

6 Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	2 год	Параметры
Текущий (неделя)
Контрольная работа			Письменная работа 70 минут
Домашнее контрольное задание			Исполнение в течение недели
Итоговый	Экзамен			Письменный экзамен 90 мин.

 

Критерии оценки знаний, навыков

Для успешного прохождения контроля студент должен показать знание основных понятий, определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, строить математические модели по вербальной постановке оптимизационных задач, знание методов и алгоритмов для вычисления рациональных решений.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

 

 

7 Содержание дисциплины

Тема 1. Введение. Математические методы и модели в принятии решений

Процесс принятиярешений, его участники и этапы. Лицо, Принимающее Решение (ЛПР), его информированность. Математические методы и принятие рациональных управленческих решений. Оптимизация как способ описания рационального поведения.

Взаимосвязь математической теории принятия решений, исследования операций и системного анализа. Необходимость разработки и использования моделей. Моделирование, его виды и этапы. Преимущества математического моделирования по сравнению с натурными экспериментами. Основные этапы моделирования.

Классификация моделей по объекту исследования, уровню агрегирования, применяемому математическому аппарату. Система экономико-математических моделей.

Вопросы применения средств вычислительной техники.

Литература:

Базовый учебник: [1] (тема 1), [3] (введение, гл.1).

Основная литература: [9] (гл.1-2).

Дополнительная литература:, [12], [20] (гл.1), [13] (гл.1-3).

 

 

Тема 3. Задачи, сводящиеся к линейному программированию. Модели и методы целочисленного линейного программирования.

Задачи дробно-линейного программирования и сведение их к задаче ЛП. Пример - задача об оптимальной рентабельности производства.

Задачи кусочно-линейного программирования, максиминные задачи, методы их решения.

Задачи целочисленного линейного программирования. Метод ветвей и границ. Особенности решения задач с булевыми переменными. Задача об оптимальном наборе инвестиционных проектов. Учет логических условий. Задачи дискретного программирования и их сведение к задаче целочисленного ЛП.

Компьютерные системы линейного программирования.

Литература:

Базовый учебник:[3] (гл. 8).

Основная литература: [11] (гл. 3, 4).

Дополнительная литература: [17]

 

Рекомендации по использованию информационных технологий

Для решения задач линейного программирования можно использовать любую имеющуюся компьютерную программу, которая позволяет проводить анализ чувствительности, в частности, MS Exсel.

 

 

8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

Примерная тематика заданий текущего контроля

Контрольная работа

Темы: «Линейное программирование. Двойственность»

ЗАДАЧА 1. Приведите следующую задачу линейного программирования (ЛП) к стандартному виду (исключением базисных переменных) и к каноническому виду.

 

2 x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ -x₄ ≤ 11

x₁ - x₂ + x₃ +x₄ =1

x₁ + x₂ – 2 x₃ + x₅ = 0

x _i≥0 (i=1,…,5)

F= x₁ +x₂ +x₅ àmax

 

ЗАДАЧА 2. Формализуйте приведенную задачу в виде задачи ЛП: введите обозначения, выпишите ВСЕ ограничения и целевую функцию. (РЕШАТЬ полученную задачу не надо).

Бетонный завод может выпускать четыре сорта бетона. При этом используется 3 вида сырья: цемент, песок, щебень, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также доход от выпуска кубометра каждого вида бетона.

Требуется найти план производства, который обеспечивает максимум дохода.

Задайте конкретные числовые данные и после этого запишите задачу в виде задачи ЛП.

ЗАДАЧА 3. Найти оптимальное решение приведенной задачи ЛП, используя графическое решение двойственной задачи и условия дополняющей нежесткости.

x₁ + x₂ ≥ 1

x₁ + x₃ ≥ 1

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

Z = 1,5 x₁ + x₂ + x₃ è min

ЗАДАЧА 4. Найти допустимое базисное решение транспортной задачи с помощью метода наименьшей стоимости северо-западного угла.

	B1	B2	B3	Запасы
A1
A2
A3
Спрос

ЗАДАЧА 5. Дана следующая задача ЛП

3 x₁ +x₂ + 2 x₄ =6

x₃ + 5 x₄ =10

x₁, x₂, x₃, x₄ ≥0

Z = 2 x₁ + 3 x₂ -4 x₃ + 17 x₄ è min

Какой (какие) из следующих наборов, могут быть допустимым базисным решением.

Объясните почему.

	может/нет	Объяснение - почему
(1,0,0,2),
(0,4,5,1),
(0,6,10,0),
(0,0, - 5,3)
(2,0,10,0)

 

Теоретические вопросы.

Какова верхняя оценка максимального числа шагов в симплекс-методе до достижения решения и почему реальное число шагов гораздо меньше этой оценки?

Может ли оптимальное решение замкнутой транспортной задачи с целочисленными условиями (запасами и запросами) быть нецелочисленным?

 

Домашнее контрольное задание

Примеры заданий итогового контроля

Типовой вариант экзаменационной контрольной работы

Задача 1. Рассматривается задача математического программирования

 

 

0) Можно ли понизить размерность этой задачи? Если да, сделайте это и проведите обоснование.

1) Проверьте выполнение условий теоремы Вейерштрасса, сделайте вывод о существовании глобального минимума.

2) Проверьте, является ли задача задачей выпуклого программирования.

3) Проверьте выполнение условия Слейтера, поясните, зачем это нужно.

4) Найдите решение x* графическим методом.

5) Выпишите условия Куна-Таккера в дифференциальной форме в общем виде.

6) Проверьте выполнение этих условий в найденной в п. 4 точке x*, сделайте соответствующие выводы.

 

Задача 2. Дана функция .

1) Исследуйте функцию на экстремумы. Найдите точку минимума аналитически. Не забудьте доказать, что это именно минимум.

2) Если начальная точка имеет координаты (8;5), то сколько шагов потребуется сделать градиентным методом с наилучшим фиксированным шагом, чтобы расстояние от текущего приближения до точного решения было не больше 0,0001? В ответе можно «оставить логарифм без вычисления»

 

Задача 3. Шесть конкурсных проектов оценивались по четырем критериям (каждый критерий желательно максимизировать). Результаты представлены в таблице ниже.

а) Найдите все проекты, чьи оценки оптимальны по Парето.

б) Найдите все проекты, чьи оценки оптимальны по Слейтеру.

в) Какой проект следует выбрать, если коэффициенты важности критериев считать одинаковыми?

Таблица оценки проектов по четырем критериям

Критерий\проект	ФA	ИB	СC	ВD	УE	АF	Идеальная точка
Критерий 1
Критерий 2
Критерий 3
Критерий 4
Функция свертки

 

г) Найдите идеальную точку и выберите проект по методу целевого программирования.

Используйте для расчетов «расстояний» до идеальной точки табличку ниже:

 

Критерий\проект	ФA	ИB	СC	УD	УE	FF
Критерий 1
Критерий 2
Критерий 3
Критерий 4
Maximum

Задача 4.

Вы можете использовать имеющиеся у Вас 100 тыс. руб. тремя альтернативными способами – срочный вклад в банк, вложение в инвестиционный фонд (ИФ) или приобретение акций. Доход от этих действий, однако, не во всех случаях известен заранее, поскольку зависит от мировой цены на нефть. Банк гарантирует 5% годовых при любых ценах на нефть. Доход от вложений в ИФ зависит от этих цен: при высоких, средних и низких ценах 25%, 15% и 10% соответственно от вложенной суммы за год. Предполагается, что доходы от акций составят соответственно 40%, 1% и -20% (потери). Найти максимальную гарантированную оценку прибыли и гарантирующее решение, решения по критериям Бернулли-Лапласа, Гурвича, Сэвиджа.

Сформулируйте указанные критерии и покажите, как они работают в данной задаче.

Задача 5.

Продукция трех видов производится с использованием двух видов сырья.

Удельные затраты сырья и цены известны неточно, прогнозно, с точностью до заданного диапазона. Точно известны объемы запасов сырья. Все данные приведены в таблице.

 

Вид продукции	X1	X2	X3	Запасы сырья
Уд. расход сырья 1	1,89-2	4-5	0-0
Уд. расход сырья 2	2,1-3	3,01-4	43-50
Цены на продукцию	19-21	30-35	45-50

Неопределенные факторы предполагаются независимыми – может реализоваться любое их сочетание в пределах указанных диапазонов.

Требуется найти наилучший гарантированный план производства X₁*, X₂*, X₃*, который будет заведомо выполним и обеспечит максимум гарантированной оценки прибыли.

Указание. Задачу решить с использованием двойственной задачи.

1. Дайте формальное описание задачи (введя необходимые обозначения).

2. Опишите множество гарантированно допустимых планов.

3. Чему равна гарантированная оценка f прибыли при заданном плане?

4. Найдите максимальную гарантированную прибыль f* и оптимальный гарантирующий план X*, решив соответствующую задачу ЛП с использованием двойственной задачи и условий дополняющей нежесткости.

Теоретический вопрос.

В чем сущность метода целевого программирования? При каком определении расстояния в критериальном пространстве возможно решение задачи целевого программирования методами линейного программирования? Как формируется соответствующая задача?

9 Порядок формирования оценок по дисциплине

Итоговая оценка по учебной дисциплине определяется на основе оценок за следующие виды контрольных работ:

- письменная аудиторная контрольная работа (третий модуль, 70 мин),

- домашнее контрольное задание (четвертый модуль, неделя на исполнение)

- письменный экзамен (четвертый модуль, 90 мин).

Оценки за контрольные задания и экзамен ставятся в десятибалльной шкале с одним знаком после запятой.

Накопленная оценка учитывает результаты студента следующим образом:

О_{накопленная} = 0,2•О_{аудиторная} + 0,4•О_контр +0,4•О _{дом.задание}

 

Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам арифметики округления. Отдельные слагаемые не округляются.

Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом определяется по формуле

О_{итоговая} = 0,5•О_{накопленная} + 0,5•О_{экзамен/зачет}

Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по общепринятому в НИУ ВШЭ правилу:

не больше 3 – неудовлетворительно, 4,5 – удовлетворительно, 6, 7 – хорошо, 8,9,10 – отлично.

10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Базовый учебник

1. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения. Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010, 2011.
2. В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010, 2011
3. Исследование операций в экономике. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2005.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-Пресс, 2002.

10.2 Основная литература

1. Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. Линейное программирование. М. Факториал Пресс, 2008.
2. Ф.П. Васильев. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс, 2005.
3. Ногин В.Д. Методы оптимальных решений. СПб, СПб филиал ГУ – ВШЭ, 2006.
4. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. М.: Наука, 1969.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: ВШ, 2001.
6. Подиновский В.И., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 2007.
7. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. СПб., BHV, 1997.

10.3 Дополнительная литература

1. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. / Учебник. М.: Логос, 2002.
2. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М., Энергоатомиздат, 1996.
3. Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. Математическое оптимальное программирование в экономике. М.: Знание, 1968.
4. Дж. Данциг. Линейное программирование, его обобщения и применение. М.: Прогресс, 1966.
5. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Физматлит, 2007.
6. Математические методы принятия решений в экономике. /Учебник. Под ред. Колемаева В.А. М.: Финстатинформ, 1999.
7. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование / Учебное пособие. М.: Наука, Физматлит, 1984.
8. Хрестоматия по учебной дисциплине «Теория и методы принятия многокритериальных решений». Составитель В.В. Подиновский. М.: ГУ – ВШЭ, 2005.
9. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике: Учебное пособие. – М.:,БЕК, 2002.
10. Жуковский В.И., Молоствов В.С. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988.
11. Дуброва А.М. и др. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: «Финансы и статистика», 2001.

 

Автор программы В.С.Молоствов

 

© В.С.Молоствов

Правительство Российской Федерации

 

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

 

 

Факультет Мировой Экономики и Мировой Политики

 

Программа дисциплины

 

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

 

для направления 38.03.01«Экономика» подготовки бакалавра