Вероятность суммы несовместимых событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несов­местных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Р (A₁ + А₂ +... + А_п) = р (A₁) + р (А₂,} +... + р (А_п).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема. Сумма вероятностей событий A₁ + А₂ +... + А_п образующих полную группу, равна единице: р (A₁) + р (А₂,} +... + р (А_п)=1

Задание 4-1. Задачи на нахождение вероятности суммы событий.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих в 15 белых. Вытаскивается один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)Р (А) = 10: 30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В) Р (В) =5/30 =1/6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исклю­чает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения при­менима.

Ответ Р (А + £) = Р (А) + Р(В) = 1/3+ 1/6= 1/2.

2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 об­ласти. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События А - "стрелок попал в первую область" и В - "стрелок попал во вторую область" - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

3. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность полу­чения пакета из города А равна 0,7, из города В - 0,2. Найти веро­ятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События "пакет получен из города Л", "пакет получен из города Я", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7 + 0,2 + Р=1 Отсюда искомая вероятность р=1- 0,9 = 0,1.

Вероятность противоположных событий

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А' или.Ā.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных собы­тий равна единице: Р(А) + Р(Ā)=1.

Замечания

1. Если вероятность одного из двух противопо­ложных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Тогда 1-p=q

2.При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события А, а затем найти искомую вероятность по формуле

Р(А)=1- Р(А)

Задание 4-2.

1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то Ā - промах. Пусть Р(А)=0,9, найти вероятность промаха. Р(Ā)=+1-0,9=0,1

2. Из ящика наудачу взята деталь. События "появилась стандартная деталь", вероятность которого равна p, тогда "появилась нестандартная деталь" - противо­положные. событие, вероятность которого равна 1-p

3. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События "день дождливый" и "день ясный" - про­тивоположные, поэтому искомая вероятность q=1 - p = 1~ 0,7 = 0,3.

4. В ящике имеется п деталей, из которых m стандарт­ных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных дета­ лей хотя бы одна стандартная.

Решение. События "среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная" и "среди извлеченных деталей нет ни одной стан­дартной" - противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе - через Ā.

Найден Р(Ā). Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из n деталей, равно Число нестандартных деталей равно n - т; из этого числа деталей можно способами извлечь k не­стандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна Р(Ā).= :

Ответ: Р (А)= 1- Р(Ā) =1- :

5. Решить задачу предыдущую задачу с конкретными данными.