Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вероятность гипотез. Формула Бейеса ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Blt Ва,..., Вп, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности Р (А) = Р (В1) PВ1 (A)+ P (В2) РB2 (A) +.. + P (Вn) РBn (A) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности Найдем сначала условную вероятность РА (В1). По теореме умножения имеем Р (AB1) = Р (A) РА (В1) = Р (В1) PB1 (A). Из двойного равенства получим Р (A) РА (В1) = Р (В2) PB1 (A). Итак, РА (В1) = (Р (В1)· PB1 (A)): Р (A) или РА (В1) = (Р (В1)· PB1 (A)): (В1) PВ1 (A)+ P (В2) РB2 (A) +.. + P (Вn) РBn (A))
Аналогично определяющие условные вероятности остальных гипотез, Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Задания 4-9 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения: 1) деталь проверил первый контролер (гипотеза B1)', 2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В2). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса: РА (В1) = (Р (В1)· PB1 (A)): (В1) PВ1 (A)+ P (В2) РB2 (A) +.. + P (Вn) РBn (A)) *** По условию задачи имеем: P(B1)= 0,6 -вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру; P (В2) =0,4 -вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру; PВ1 (A)=0,94 -вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
РB2 (A) = 0,98 - вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной), Искомая вероятность PB1 (A)) = (0,6 • 0,94)/(0,б • 0,94 + 0,4-0,98) =0,59.
Задания 4-10. 1. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым -0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Ответ. 0,88. 2. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, н 4 детали завода №2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется наготовленной заводом № 1. Ответ. 92/95. 3. В группе спортсменов 20 лыжников, б велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 03 и для бегума - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. Ответ. 0,86. 4. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, н 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2-0,9, Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Ответ. 0,84. 5. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором-30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная. Ответ. 43/60. 6. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы. Ответ. 0,875. 7. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Иэ первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. Ответ. 13/132. 8. Из полного набора' 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой. Ответ. 7/18.
9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей: когда он берет билет первым или последним? Ответ. Вероятности одинаковы в обоих случаях. 10. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике. Ответ. 0,625. 11. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-И срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором СИ или С-11, соответственно равны 0,6 н 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-Ш. Ответ. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-1, равна 6/11. а С-11-5/11. 12. Для участия в спортивных студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? Ответ. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59. Повторение испытаний. Формула Бернулли Рассмотрим практические ситуации. 1. Садовник покупает саженцы в магазине, где продавец сообщил ему, что вероятность проживания деревьев равна 90%. Сколько нужно купит садовнику саженцев, чтобы быть уверенным, что приживутся у него не менее 10 саженцев; ровно 10 саженцев; 2. Спортсмен бросает мяч по кольцу. Вероятность попадания в кольцо у него составляет 60%. Какова вероятность того, что при 15 бросках он попадет в кольцо равно 10 раз. Сформулируем общую таковую ситуацию. Вероятность наступления одного события равна p. Необходимо вычислить вероятность наступления k таких событий при n испытаниях Материал данного раздела позволит ответить на такие задания и решить много других ситуаций иного направления, связанных с повторными испытаниями.
Испытания называют независимыми относительно события А, е Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. В независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность. Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1 - p. Рассмотрим задачу: Вычислить вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно k раз. и, следовательно, не осуществится п - k раз
Очевидно, что событие А повторилось ровно k раз в произвольной последовательности. Это значит, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: АААĀ, ААĀА, АĀАА, ĀААА, где.символ А обозначает, что событие наступила, а символ Ā – не наступило. Искомую вероятность обозначают Рп (k) или Pn,k, которая соответствует вероятности наступления события ровно k при n испытаниях. Такие задачи решаются по формуле Бернулли: , где n - число исходов, k – число положительных исходов, p - вероятность наступления события, q - вероятность не наступления события (q =1-p) Задание 4-11 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы. Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1- 0,75 = 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна: P6(4)=C64·0,754·0,252=0,30. 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень. Решение. п = 5, р = 0,8 и k = 2; по формуле Бернулли: Р5(2) =0,0512. 3. [3, №231]. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз? 4. [3,№232]. По данным технического контроля 2% изготовленных автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке. 5. [3, №240]. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере, одному.
Локальная теорема Лапласа Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях л достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.
Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико. Теорема. Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции , причем, Для удобства вычислений составлены таблицы значений функции = , соответствующие положительным значениям аргумента x. Функция четная. Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна Pn(k)≈ , где Задание 4-12 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. Решение. По условию, n = 400; k = 80; р=0,2; q= 0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа: P400(80) = 0,04986. . 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз. Решение. По условию, п = 10; k = 8; р = 0,75; q = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа: P10 (8)= 0,273.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 291; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.140.185.170 (0.028 с.) |