Динамика материальной точки и поступательное движение

Твёрдого тела

 

 

● Импульс материальной точки

.

● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной очки)

 

.

● Сила трения скольжения

,

где μ- коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.

● Закон сохранения импульса для замкнутой системы

,

где n- число материальных точек (или тел), входящих в систему.

 

 

Работа и энергия

● Элементарная работа, совершаемая постоянной силой F на элементарном перемещении ds,

,

где F_s- проекция силы на направление перемещения; α- угол между направлениями силы и перемещения.

● Работа, совершаемая силой, на пути S

.

● Работа постоянной силы

,

где угол α – угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

● Мгновенная мощность

, или .

● Кинетическая энергия движущегося тела

.

● Связь между силой, действующей на тело в данной точке градиентного или потенциального (или консервативных сил) поля, и потенциальной энергией частицы

,

- единичные векторы координатных осей.

● Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на

высоту h (при ),

,

где g- ускорение свободного падения.

● Сила упругости

,

где ∆х- абсолютное изменение длины; k- коэффициент упругости.

●Потенциальная энергия упругодеформированного тела

.

● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

.

 

 

Механика твёрдого тела

● Момент инерции материальной точки

,

где m- масса материальной точки; r- расстояние до оси вращения.

●Момент инерции системы материальных точек (тела)

,

где r_i – расстояние от материальной точки массы m_i до оси вращения. В случае непрерывного распределения массы .

●Теорема Штейнера

,

где J₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной, отстоящей от первой на расстоянии ; m- масса тела.

● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z

,

где J_z- момент инерции тела относительно оси z; ω- его угловая скорость.

●Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно без скольжения при одновременном вращении

,

где J₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; m- масса тела; – скорость центра масс тела; ω- угловая скорость тела.

● Момент силы относительно неподвижной точки

,

где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F. Модуль момента силы

,

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

● Работа при вращении тела

,

где - угол поворота тела; - момент силы относительно оси z.

● Момент импульса

.

● Момент импульса твердого тела относительно произвольной оси z

,

где r_i – расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; J_z – момент инерции тела относительно оси z; ω – его угловая скорость.

● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела

.

● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z

,

где ε – угловое ускорение; J_z – момент инерции тела относительно оси z.

● Напряжение при упругой деформации

,

где F- растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.

● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

,

где E – модуль Юнга, ε – относительное приращение длины стержня .