Основы молекулярно-кинетической теории газов

●Закон Бойля-Мариотта

 

при ,

 

где p — давление; V — объём; Т — термодинамическая температура; m — масса газа.

 

● Закон Гей-Люссака и закон Шарля

 

при ;

при ,

 

● Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов

 

,

 

где — парциальное давление i — го компонента смеси.

 

● Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева- Клапейрона)

,

где — газовая постоянная, μ — молярная масса газа.

 

● Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры Т

 

,

 

где — постоянная Больцмана (k=R/ N _{A )}, N _A = 6,02·10²³ 1/моль — число Авогадро.

 

● Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

,

 

или

,

 

или

,

 

где — средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n — концентрация молекул; — масса одной молекулы; — масса газа; N — число молекул в объеме газа V.

 

● Скорость молекул:

 

наиболее вероятная

 

;

 

средняя квадратичная

 

;

 

средняя арифметическая

 

.

 

● Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

.

 

● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям

,

 

где функция () распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от до .

● Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

 

,

 

 

где функция f(ε) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии , заключенные в интервале от ε до ε+dε.

 

● Барометрическая формула

 

,

 

 

где и – давление газа на высоте h и h₀.

 

● Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

 

,

 

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и h₀.

 

● Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 секунду,

 

,

 

где d — эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; — средняя арифметическая скорость молекул.

 

● Средняя длина свободного пробега молекул газа

 

.

 

 

● закон теплопроводности Фурье

 

,

 

где Q теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; — градиент температуры; λ — коэффициент теплопроводности:

 

,

 

где с_v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ — плотность газа.

 

 

● Закон диффузии Фика

 

,

 

где М — масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; — градиент плотности, D — коэффициент диффузии:

.

 

● Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

 

,

 

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; — градиент скорости; η — коэффициент динамической вязкости:

.

 

 

Основы термодинамики

● Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

 

.

 

● Средняя энергия молекулы

 

,

 

где — число степеней свободы.

 

 

● Внутренняя энергия газа

 

,

 

где — количества вещества; m — масса газа; μ — молярная масса газа.

 

● Первое начало термодинамики

 

,

 

где Q — количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; — изменение её внутренней энергии; А — работа системы против внешних сил.

 

● Первое начало термодинамики для малого изменения системы

 

.

 

● Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

, .

 

● Уравнение Майера

.

 

● Изменение внутренней энергии идеального газа

 

.

 

● Работа, совершаемая газом при изменении его объема,

 

.

 

● Полная работа при изменении объема газа

 

,

 

где V₁ и V₂ — соответственно начальный и конечный объемы газа.

 

● Работа газа:

 

при изобарном процессе

 

, или ;

 

при изотермическом процессе

 

, или .

 

● Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

 

 

где — показатель адиабаты.

 

 

● Работа в случае адиабатического процесса

 

или ,

 

где T₁ , T₂ и V_1, V₂ — соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

 

● Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

,

 

где Q₁ — количество теплоты, полученное системой; Q₂ — количество теплоты, отданное системой; А — работа, совершаемая за цикл.

 

● Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

 

,

 

где T₁ — температура нагревателя; T₂ — температура холодильника.

 

● Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2, в переменных Р V

.

 

В переменных Т, V

 

.

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Задача 1. В баллоне объёмом 20л находится аргон под давлением 1,0 Мпа и температуре 300 К. После того как из баллона было взято 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

 

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа, применив его к начальному и конечному состояниям газа:

, (1)

. (2)

Из уравнений (1) и (2) выразим m₁ и m₂ и найдём их разность:

,

откуда находим

(3)

 

Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое:

Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль.

.

 

Ответ: 875 кПа.

 

Задача 2. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении р = 40 кПа составляет r = 0,35 кг/м³.

 

Решение:

Воспользуемся формулой .

 

Из уравнения состояния выражаем плотность газа:

 

,

 

Тогда, подставляя, получим

= 478 м/с.

 

Задача 3. Плотность газа увеличили в k ₁ = 3 раза, а температуру уменьшили в k ₂ = 4 раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени?

 

 

Решение:

 

Среднее число столкновений молекул в единицу времени находится по формуле

 

,

 

где — средняя скорость движения молекул, d — эффективный диаметр молекул, n — концентрация молекул.

 

Формула для вычисления средней скорости:

 

,

 

связь концентрации молекул с плотностью газа определяется формулой:

 

 

Эффективный диаметр молекул d, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры молекул, зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько увеличивается при понижении температуры). Но при решении данной задачи это изменение величины d учитывать не будем.

 

Подставляем записанные выражения в первую формулу:

 

 

,

 

 

тогда после изменения давления и температуры

 

 

,

 

 

т. е. длина свободного пробега при этом увеличится в

 

 

= = 1,5 раза.

 

Следует отметить, что в формулы входит именно термодинамическая температура.

 

 

Задача 4. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения водорода при некоторых условиях равны соответственно D=1,42 см²/сек и η=8,5·10^-6 Н·сек/м². Найти число молекул водорода в 1 м³ при этих условиях.

 

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулами расчета коэффициента внутреннего трения (динамической вязкости) и коэффициента диффузии:

 

(1)

 

(2)

 

 

Объединив формулы (1) и (2), получим

 

 

Откуда следует, что плотность водорода равна

 

(3)

 

С другой стороны плотность газа может быть найдена по формуле

 

(4)

 

Объединив формулы (3) и (4), получим выражение для массы водорода

 

(5)

 

Известно, что число молекул можно рассчитать по формуле

 

 

, (6)

 

где m = 2·10^-3 кг/моль — молярная масса водорода,

 

N _A = 6,02·10²³ 1/моль — число Авогадро.

 

Из формул (5) и (6) находим концентрацию молекул газа

 

 

Подставив численные значения, получим:

 

 

Ответ: n = 1,8·10²⁵ м^-3

 

Задача 5. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А = 2 кДж. Определите коли­чество подведенной к газу теплоты, если процесс проте­кал: 1) изотермически; 2) изобарно;

Решение:

Согласно первому началу термодинамики подведенное к газу количество теплоты Q расходуется им на изменение внутренней энергии и на совершение работы расширения:

Q= D U+A.

 

1) В случае T= const, = 0, D U = 0 и Q ₁ = A = 2 кДж.

 

2) При p= constполучаем

,

 

где D T — изменение температуры при изобарном увеличении объема на D V. Из уравнений начального и конечного состояний получаем:

 

,

т. е.

.

Тогда

= = 7 кДж.

 

где i = 5, т.к. газ двухатомный.

 

Задача 6. Баллон содержит кислорода и аргона. Давление смеси газов , температура . Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

 

Решение:

 

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева — Клапейрона парциальные давления кислорода и аргона выражаются формулами:

 

 

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси двух газов:

или

 

откуда объем баллона

 

 

Произведем вычисления, учитывая, что –—молярная

масса кислорода, – молярная масса аргона

 

.

Ответ: .

 

Задача 7. Гелий массой совершает цикл, изображенный на рисунке. Найти работу А, совершаемую газом за один цикл, количество теплоты, принятое от нагревателя и переданное холодильнику за цикл, КПД цикла, если , , , .

Решение:

 

Определим количество вещества

 

,

где m = 2·10^-3 кг/моль — молярная масса гелия.

 

Рассмотрим каждый участок цикла отдельно.

 

(1-2): запишем первый закон термодинамики

 

.

 

На данном участке давление пропорционально объему:

 

,

 

где .

 

Работа определяется, исходя из изотермического смысла работы газа в координатной плоскости (р, V):

 

.

.

,

 

где — молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа

 

,

 

тогда

,

 

где для одноатомного гелия число степеней свободы , тогда

 

.

 

Так как , то газ на этом участке получает от нагревателя теплоту.

 

(2-3): Так как , то и первый закон термодинамики принимает вид

,

 

где ;

 

.

 

, значит внутренняя энергия уменьшается.

 

. Так как , то газ на этом участке отдает теплоту холодильнику.

 

(3-1):

, (газ совершает «отрицательную» работу; его сжимают).

где — молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Так как , то газ на участке 3-1 также отдает теплоту холодильнику.

 

Итого: ,

 

.

 

или .

 

 

Замечание: используя геометрический смысл работы в координатной плоскости (р, V) видно, что работу за цикл можно рассчитать, определив площадь фигуры цикла (в нашем случае – это площадь треугольника).

 

Ответ: , , , .

 

Задача 8. Двигатель работает как машина Карно и за цикл получает от нагревателя теплоты. Температура нагревателя , температура холодильника . Найти:

 

1. Совершаемую за цикл работу;

2. Количество теплоты, отдаваемое холодильнику.

 

 

Решение:

 

Запишем формулу для КПД тепловой машины:

 

,

 

т. к. двигатель работает по циклу Карно, то

 

.

Совершаемая газом работа за цикл

 

.

 

Тогда , ,

 

где , .

 

Количество теплоты: (Дж).

 

Ответ: Дж.

 

Задача 9. Один моль идеального двухатомного газа, находящегося в закрытом сосуде, охладили с до . На сколько и как изменилась энтропия газа?

 

Решение:

 

Запишем второй закон термодинамики в формулировке Клаузиуса

 

,

где dS — приращение энтропии.

По первому закону термодинамики, записанному для элементарного теплового процесса

или .

 

Элементарное приращение внутренней энергии газа

,

тогда

.

 

Для идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме

где i — число степеней свободы.

Из уравнения состояния идеального газа следует, что

 

.

Тогда

.

После деления на абсолютную температуру Т, имеем

,

.

 

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, расставляя пределы интегрирования

 

,

.

 

Итого, приращение энтропии .

 

Замечание: Используя полученное выражение для и уравнение Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний идеального газа, легко получить

,

 

где — молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении;

 

.

 

Рассчитаем изменение энтропии газа, учитывая, что при закрытом сосуде

 

.

 

, ,

 

(для двухатомного газа число степеней свободы ).

.

 

Ответ: энтропия газа уменьшилась на .

 

Задача 10. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в количестве 3 моль, чтобы его энтропия увеличилась на

25 Дж/К?

 

Решение:

 

Для обратимого процесса

,

 

где .

 

Так как процесс изотермический, то для идеального газа , а элементарная работа равна

.

 

Изменение энтропии для изотермического процесса будет равно

 

.

 

Из последнего соотношения находим

 

.

 

Показатель экспоненты – величина безразмерная.

 

Вычисления: .

 

Ответ: .

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

1. В баллоне емкостью V = 10 л находится газ при температуре

t = 27 ⁰С. Вследствие утечки газа, давление в баллоне снизилось на

DР = 4,14 кПа. Какое количество молекул вышло из баллона, если температура газа не изменилась?

2. Концентрация молекул газа идеального двухатомного газа равна

n = 5·10²⁴ м^-3 . При этом средняя энергия молекулы равна E = 8,5·10^-20 Дж. Найти давление, оказываемое молекулами газа на стенки сосуда.

3. В баллоне находилось m = 10 кг некоторого газа при давлении

P₁ = 10⁷ Па. Найти, какое количество газа Dm взяли из баллона, если давление в нем понизилось до P₂ = 2,5·10⁶ Па.

4. Сколько молекул воды содержится в стакане объемом V = 200 мл?

5. Газ, находящийся при температуре t = 27 ⁰С занимает объем V.

До какой температуры следует изобарно охладить газ, чтобы его объем стал равен 0,75V?

6. В баллоне объемом V = 15 л находится смесь идеальных газов, при температуре T = 300 К. Смесь содержит 0,3 моля углекислого газа, 0,2 моля азота и 0,1 моля кислорода. Найти молярную массу смеси и давление в баллоне.

7. Определить концентрацию молекул водорода, находящегося в сосуде под давлением P = 2,67·10⁵ Па, если средняя квадратичная скорость движения молекул при этих условиях равна = 2·10³ м/с.

8. В сосуде объемом V = 5 л содержится 14 г азота и 22 г углекислого газа при температуре t = 57 ⁰С. Найти число молекул содержащихся в сосуде.

9. Смесь водорода и азота общей массой m = 290 г при температуре

Т = 600 К и давлении Р = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Найти массу водорода и массу азота.

10. Смесь кислорода и азота находится в сосуде при давлении

Р = 1,2 МПа. Определить парциальные давления газов, если массовая доля кислорода в смеси составляет 0,2 %.

11. Объем воздушного шара V = 224 м³, масса оболочки m = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении

Р = 1,01·10⁵ Па. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура воздуха вне оболочки t = 0 ⁰С, молярную массу воздуха принять равной

m = 29·10^-3 кг/моль.

12. В горизонтальной, запаянной с одного конца капиллярной трубке столбик ртути длинной L = 40 см запирает столбик воздуха длиной

l = 20 см. Какой окажется длина воздушного столба в трубке, если ее поставить вертикально открытым концом вниз. Атмосферное давление считать равным 760 мм рт. ст.

13. В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре

t = 0 ⁰С. После того как часть газа выпустили, давление в сосуде понизилось на D Р =0,78 атм без изменения температуры. Найти массу выпущенного газа Dm. Плотность этого газа при нормальных условиях r = 1,3 г/л.

14. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов капиллярной трубке длиной L = 1 м находится столбик ртути длинной l = 20 см. Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на расстояние D l = 10 см. До какого давления был откачан капилляр?

15. При нагревании гр газа на изобарически требуется на теплоты больше, чем при изохорическом нагревании. Что это за газ?

16. Плотность некоторого газа равна r = 6·10^-2 кг/м³, средняя квадратичная скорость равна = 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.

17. Внутри закрытого горизонтально расположенного поршня находится тонкий поршень, способный скользить без трения. В одной части цилиндра находится водород массой m ₁ = 3 г водорода, а в другой m ₂ = 18 г азота. Температуры газов одинаковы. Какую часть объема цилиндра занимает водород?

18. В баллоне объёмом л находится смесь, содержащая водорода, водяного пара и азота. Температура смеси . Определите давление.

19. С глубины h = 10 м всплывает шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине радиус пузырька увеличится в n = 1,2 раза, если атмосферное давление Р = 1·10⁵ Па? Плотность воды r = 1000 , температуру считать постоянной по всей глубине.

20. В баллоне объемом V = 22,4 л находится водород при нормальных условиях. После того, как в баллон было введено дополнительно некоторое количество гелия, давление в баллоне повысилось до значения Р = 0,5·10⁶ Па. Считая процесс изотермическим определить массу гелия, введённого в баллон.

21. Определить плотность водорода, если средняя длина свободного пробега его молекул = 0,1 см.

22. Определить коэффициент теплопроводности азота при температуре

t = 10 ⁰С и давлении Р = 1·10⁵ Па.

23. Коэффициенты диффузии и динамической вязкости водорода при некоторых условиях равны соответственно D = 1,42 см²/с и h = 8,5·10⁶ Па/с. Найти число молекул водорода в 1 м³при этих условиях.

24. Определить среднее число соударений в секунду и длину свободного пробега молекулы водорода при температуре t = 27 ⁰С и давлении Р = 1·10^{-3 мм рт. ст.}

25. Азот и кислород находятся при одинаковой температуре. Во сколько раз коэффициент вязкости кислорода больше, чем коэффициент вязкости азота?

26. Плотность гелия при некоторых условиях r = 2·10^-2 кг/м³. Найти среднюю длину свободного пробега молекул гелия при этих условиях.

27. Какое максимальное число молекул аргона должно находиться в

1 см³ сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом?

28. Найти среднее число столкновений в 1 секунду молекул некоторого газа , если средняя длина свободного пробега его молекул при этих условиях = 4·10^{-6 м, а средняя квадратичная скорость его молекул = 500 м/с.}

29. В сферической колбе объемом 2 л находится кислород. При какой плотности кислорода средняя длина свободного пробега его молекул больше размеров сосуда?

30. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого r = 1,7 кг/м³. Средняя длина свободного пробега его молекул при этих условиях равна

= 7,9·10^{-6 м. Определить из этих условий эффективный диаметр молекулу углекислого газа} d.

31. Найти удельные теплоемкости C _v и C _р некоторого газа, если известно, что его молярная масса m = 84 г/моль, а отношение C _р / C _v = 1,67.

32. Найти удельные и молярные теплоемкости C _v и C _р водяного пара.

33. Двухатомный идеальный газ занимает объем V = 8 л. Определить теплоемкость этого газа при постоянном давлении C _р.

34. Чему равны удельные теплоемкости C _v и C _р некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях r = 1,43 кг/м³.

35. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме газовой смеси, состоящей из 12 киломолей гелия и 7 киломолей азота.

36. Смесь содержит 10 г гелия и 16 г кислорода. Найти показатель адиабаты g = C _р / C _v для этой смеси газов.

37. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении равна 976 Дж/(кг·К), а молярная масса равна 30 г/моль. Определить число степеней свободы молекулы этого газа.

38. Разность между удельной теплоемкостью при постоянном давлении и удельной теплоемкостью при постоянном объеме некоторого газа равна 260 Дж/(кг·К). Определить число степеней свободы молекул этого газа.

39. Удельная теплоёмкость некоторого трехатомного газа при постоянном объеме C _v = 567 Дж/(кг·К). Определить, что это за газ.

40. Некоторый двухатомный газ находится под давлением Р = 2·10⁵ Па

и температуре Т = 600 К. Найти плотность этого газа, если его

удельная теплоемкость при постоянном давлении C _р = 909 Дж/(кг·К).

41. При изотермическом расширении 10 г азота, находящегося при температуре t = 17 ⁰С, была совершена работа А = 860 Дж. Во сколько раз изменилось давление азота?

42. В сосуде под поршнем площадью S = 100 см² находится 56 г азота при температуре t₁ = 20 ⁰С. Азот нагревают до температуры t₂ = 120 ⁰С. На какую высоту поднимется поршень? Атмосферное давление принять равным Р = 1·10⁵ Па.

43. Газ, занимающий объем V = 5 л и находящийся под давлением

Р = 2·10⁵ Па и при температуре t = 27 ⁰С нагревают изобарно. Расширяясь газ совершил работу А = 200 Дж. Чему стала равна температура газа в конце процесса расширения?

44. Работа некоторого газа при его изотермическом расширении с увеличением объема в два раза А = 575 Дж. Найти среднеквадратичную скорость молекул этого газа при этой температуре. Масса газа 10 г.

45. Некоторое количество кислорода сжимают так, что его объем уменьшается от V₁ = 15 л, до объема V₂ = 3 л. Как выгоднее сжимать газ – адиабатически или изотермически?

46. 16 г водорода находятся под давление Р = 2 атм. и

температуре t = 57 ⁰С. Газ нагревают при постоянном давлении, вследствие чего его объем становится равным V = 15 л. Найти работу, совершенную газом при расширении.

47. Один м