Сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям симметрии.

a) Сечение (плоскость параллельна плоскости yOz).

● если получается эллипс:

, где ;

● если , то , , и – точки с координатами: , , , то есть – вершины эллипсоида.

● если – точек пересечения нет.

b) Сечение (плоскость параллельна плоскости xOz)

● если получается эллипс:

, где ;

● если , то , , и – это точки с координатами , , , то есть – вершины эллипсоида.

● если – точек пересечения нет.

c) Сечение (параллельных плоскости xOy)

● если получается эллипс:

, где ; .

● если , то , , , – это точки с координатами , , , то есть – вершины эллипсоида.

● если – точек пересечения нет.

 

Уравнение однополостного гиперболоида

.

(11)

Свойство симметрии однополостного гиперболоида

Утверждение. У однополостного гиперболоида координатные плоскости являются плоскостями симметрии, оси координат являются осями симметрии, начало координат – центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству свойств симметрии эллипсоида.

 

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскостям симметрии.

1. В сечении получается уравнение гиперболы на плоскости xOy

,

где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна с.

2. В сечении также получается гипербола с уравнением:

3. Сечения плоскостей и аналогичны сечениям плоскостей и однополосного гиперболоида вращения.

В сечении получается эллипс при . А при получается эллипс - горловина однополостного гиперболоида:

.

Уравнение двуполостного гиперболоида

.

(12)

Свойство симметрии двуполостного гиперболоида

У двуполостного гиперболоида координатные плоскости являются плоскостями симметрии, оси координат являются осями симметрии, начало координат – центром симметрии.

 

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскостям симметрии.

1) В сечении :

● – сечение – эллипс.

, где , .

●

● – решения нет.

2) При получается уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна с, а мнимая полуось равна b:

.

3) При сечение также является гиперболой: .

4) Сечения плоскостей и аналогичны сечениям плоскостей и однополосного гиперболоида вращения.

 

Уравнение эллиптического параболоида

.

(13)

Свойство симметрии эллиптического параболоида

В отличии от эллипсоида и гиперболоидов, плоскость xOy не является плоскостью симметрии, следовательно оси Ox и Oy не являются осями симметрии.

Если параболоиду, то

· параболоиду yOz – плоскость симметрии параболоида;

· параболоиду xOz – плоскость симметрии параболоида;

· параболоиду Oz – ось симметрии параболоида;

У эллиптического параболоида нет центра симметрии.