ТЕМА 4.9. Гидравлическое моделирование

• Сложные гидротехнические сооружения не подлежат точному расчету и при проектировании нужно проводить исследование на моделях для качественной и количественной оценки явления. На модели воссоздают то же самое явление, что и в натуре, но в другом масштабе. На рис. 4.9.1 показаны гидравлическое моделирование прохождения судна по каналу (а) и моделирование волнения в гавани (б).

 

а	б
Рис. 4.9.1. Гидравлическое моделирование: а – модель судна в модели канала, б – моделирование волнения в гавани.

 

• Геометрическое подобие выражается в следующих отношениях длин, площадей и объемов в натуре и на модели:

; (4.9.1)

; (4.9.2)

, (4.9.3)

где a – линейный масштаб.

• Кинематическое подобие означает, что при установившемся движении отношение скоростей течения в подобных точках натуры и модели будет постоянным:

, (4.9.4)

где a_V – масштаб скоростей.

Поскольку время , то

. (4.9.5)

Ускорение при равноускоренном движении , поэтому масштаб ускорений

. (4.9.6)

• Динамическое подобие означает, что масштаб сил постоянен для всех точек:

. (4.9.7)

Поскольку сила , то масштаб сил

, (4.9.8)

где – масштаб плотностей.

Это выражение называется законом подобия Ньютона в масштабных множителях.

Таким образом

, (4.9.9)

или

. (4.9.10)

Критерий называется критерием Ньютона. Его можно выразить еще и в таком виде:

, (4.9.11)

где – масса жидкости в рассматриваемом объеме.

Для любых подобных точек в натуре и на модели критерии Ньютона должны быть одинаковыми.

• В гидравлических явлениях одновременно действуют силы тяготения, давления, трения, инерции и т.п. Для всех сил одновременное выполнение условия (4.9.10) невозможно, но этого можно достичь, когда некоторые из действующих сил имеют преобладающее значение по сравнению с другими.

• При движении жидкости в напорном трубопроводе важнейшую роль играют силы трения. Потеря напора на трение по длине трубы в соответствии с обобщенной формулой Дарси-Вейсбаха есть работа силы трения, приходящаяся на единицу веса жидкости. Таким образом, сила трения

. (4.9.12)

Подставляя это выражение в обе части (4.9.10), находим:

, (4.9.13)

т. е. потоки жидкости в трубопроводах будут гидравлически подобными, если гидравлические коэффициенты трения λ в натуре и на модели будут равны между собой.

• При ламинарном режиме течения или при турбулентном режиме в диапазоне гидравлически гладких труб гидравлический коэффициент трения, – λ = 64/ Re (формула Пуазейля) и (формулу Блазиуса), – зависит только от числа Рейнольдса Re = VD/ν. Итак, в этом случае потоки будут подобными, если для схожих точек натуры и модели числа Рейнольдса будут одинаковыми. Обычно на модели используют ту же жидкость, что и в натуре (воду). Поэтому из равенства чисел Рейнольдса следует:

, (4.9.14)

т.е. при моделировании по критерию Рейнольдса скорость на модели должна быть в a раз большей, чем на натуре.

• В квадратичном диапазоне сопротивления турбулентного режима движения коэффициент трения λ не зависит от числа Рейнольдса Re. Поэтому на модели число Re _m может быть меньше, чем Re _n, но не меньше допустимого значения

, (4.9.15)

где Δ _m – высота выступов шероховатости на модели.

При Re _m ≥ Re _a этот диапазон называется автомодельным. При работе в автомодельном диапазоне скорость на модели

. (4.9.16)

Пример 4.9.1. В натурных условиях в напорном трубопроводе (рис. 4.9.2) диаметром D _n = 150 мм протекает вода (кинематическая вязкость ν _n = 0,01 см²/с) с расходом Q _n = 30 л/с. Определить предельный расход воды на модели стального трубопровода диаметром D _m = 32 мм с эквивалентной шероховатостью Δ _m = 0,05 мм в условиях гидродинамического подобия.

 

Рис. 4.9.2. Моделирование при преобладании сил вязкости.

 

Решение. Скорость в натурных условиях

1,7 м/с.

Число Рейнольдса 255000.

Гидравлический коэффициент трения на модели в автомодельной области

0,0219.

Линейный масштаб: 4,69.

Минимальное допустимое число Рейнольдса:

60600.

Скорость на модели 1,9 м/с.

Расход потока на модели

1,52·10^-3 м³/с = 1,52 л/с.

 

• При анализе гидравлического прыжка, протекания воды через водосливы и другие сооружения преобладающей является сила веса выделенной массы жидкости . В этом случае равенство критериев Ньютона (4.9.11) принимает вид:

. (4.9.17)

Число (отношение удвоенной удельной кинетической энергии к глубине) носит название критерия Фруда.

Поскольку g _n = g _m, то из (4.9.18) масштаб скоростей

, (4.9.18)

а масштаб расходов

. (4.9.19)

 

Пример 4.9.2. Модель водослива (рис. 4.9.3) изготовлена размером в 1/25 натуры (линейный масштаб a = 25), измеренные скорость и расход равны: V _m = 0,5 м/с и Q _m = 1,5 л/с. Найти соответствующие скорость и расход в натуре.

Решение. Преобладающей является сила веса. По критерию Фруда 2,5 м/с;

4,69 м³/с.

 

Рис. 4.9.3. Моделирование при преобладании силы веса.

 

Пример 4.9.3. Определить напор H _n перед щитом, открытие a _n и ширину b _n щитового отверстия в натуре (рис. 4.7.15) для пропуска потока с расходом Q _n = 3 м³/с, если на модели с шириной отверстия b _m = 20 см при расходе Q _m = 9 л/с открытие щита a _m = 3 см.

Решение. По Фруду

масштаб расхода a_Q = Q _n/ Q _m = 3/0,009 = 333,3;

линейный масштаб

ширина щитового отверстия в натуре b _n = ab _m = 10,22∙0,2 = 2,04 м;

открытие щитового отверстия в натуре a _n = aa _m = 10,22∙0,03 = 0,307 м.

Из формулы пропускной способности щитового отверстия (4.7.11)

,

приняв в первом приближении коэффициент вертикального сжатия ε = 0,65 и коэффициент скорости φ = 0,95, находим полный напор перед щитом в натуре

Геометрический напор перед щитом в натуре

Уточняем коэффициент вертикального сжатия. По таблице рис. 4.7.13 при a _n/ H _n = 0,307/3,257 = 0,094 коэффициент вертикального сжатия ε = 0,614.

Тогда полный напор в натуре

Геометрический напор перед щитом в натуре

a _n/ H _n = 0,307/3,616 = 0,085 и коэффициент вертикального сжатия ε = 0,617.

Поскольку ε практически не изменилось, расчёт закончен и окончательно имеем: a _n = 0,307 м; b _n = 2,04 м; H _n = 3,616 м.

 

• Моделирование равномерных течений в открытых неразмываемых руслах. При моделировании равномерных потоков в открытых неразмываемых руслах необходимо в модели создать тот же уклон, что и в натуре, а шероховатость модели и её масштаб подобрать таким образом, чтобы число Фруда в модели было равно числу Фруда в натуре Fr = . Моделирование выполняется в автомодельной области. Для этого линейный масштаб не должен превышать значения

. (4.9.20)

Пример 4.9.4. Определить максимальное уменьшение размеров потока, скорость и расход на бетонной модели канала прямоугольного сечения (коэффициент откоса m = 0) с шириной дну b _n = 10 м, глубиной h _0n = 1 м и расходом Q _n = 5 м³/с. Коэффициент шероховатости бетонированных стенок и дна канала n _n = 0,014. Работа канала должна быть проверена на модели. Требуется рассчитать модель.

Решение. Определяем характеристики потока в натурных условиях:

площадь сечения 10 м²;

смоченный периметр 12 м;

гидравлический радиус R _n = ω _n/ χ _n = 10/12 = 0,83 м;

средняя скорость V _n = Q _n/ ω _n = 5/10 = 0,5 м/с.

В качестве материала модели выбираем бетон с эквивалентной шероховатостью Δ _{eq m} = 0,6 мм и коэффициентом шероховатости n = 0,014.

Предварительно берём линейный масштаб α = 10.

Определяем характеристики потока в модели в первом приближении:

гидравлический радиус R _m = R _n/ a = 0,83/10 = 0,083 м;

скоростная характеристика 13,6 м/с;

гидравлический коэффициент трения

Максимальный возможный масштаб моделирования

.

Берём это значение для масштаба моделирования во втором приближении и снова находим значения R _m, W _m, λ _m, a _max. Далее следует третье приближение и т. д., пока очередное значение a _max практически сравняется с a.

Расчёт в MS Excel показан на рис. 4.9.4. В третьем приближении было достигнуто значение a _max = 20,02.

Окончательно берём линейный масштаб α = 20.

Определяем характеристики потока в модели:

глубина воды h _m = h _0n/ α = 1/20 = 0,05 м;

ширина по дну b _m = b _n/ α = 10/20 = 0,5 м;

средняя скорость 0,11 м/с;

площадь сечения ω _m = ω _n/ a ² = 10/20² = 0,025 м²;

расход Q _m = V _m ω _m = 0,11∙0,025 = 0,00280 м³/с = 2,80 л/с.

 

Содержимое ячеек: A5 =(A2+F2*B2)*B2 B5 =A2+2*B2*КОРЕНЬ(1+F2*F2) C5 =A5/B5 D5 =C2/A5 E5 =A2/A11 F5 =B2/A11 G5 =D5/КОРЕНЬ(A11) H5 =G5*A5/A11/A11 B8 =C$5/A8 C8 =СТЕПЕНЬ(B8;G$2)/E$2 D8 =8*9,81*B8/C8/C8 E8 =СТЕПЕНЬ(D$5*D$2/14/H$2;2)*D8 A9 =E8

Рис. 4.9.4. Решение примера 4.9.4 в MS Excel.

 

 

Пример 4.9.5. Требуется определить в модели подпор воды в реке Δ h _n, вызываемый устройством моста. Длина мостовой опоры l _n = 24 м; ширина её b _n = 4,3 м; глубина воды в русле (до устройства моста) h _n = 8,2 м; средняя скорость течения воды V _n = 2,3 м/с; расхода воды в реке Q _n = 1650 м³/с.

Решение. Выбираем масштаб модели (по условиям лаборатории) a = 50. Находим линейные размеры модели:

длина опоры l _m = l _n/ a = 24/50 = 0,48 м;

ширина b _m = b _n/ a = 4,3/50 = 0,083 м.

Определяем глубину потока в модели: h _m = h _n/ a = 8,2/50 = 0,164 м.

По Фруду средняя скорость в модели 0,325 м,

расход 0,0928 м³/с.

Проведённые в модели опыты показали, что подпор Δ h _m = 0,018 м.

В натуре подпор будет: Δ h _n = a ∙Δ h _m = 50∙0,018 = 0,9 м.

Рис. 4.9.5. Схема к расчёту параметров гидравлического моделирования.

РАЗДЕЛ 5. ГИДРОЛОГИЯ