Основные геометрические образы

 

В геометрии совокупность однородных объектов называется геометрическим пространством.

Начертательная геометрия рассматривает геометрическое пространство как множество точек.

Любое количество точек называется геометрической фигурой или геометрическим образом, т.е.

Основные геометрические образы, изучаемые в начертательной геометрии:

1. Точка

2. Линия

3. Поверхность

 

Краткая характеристика геометрических образов:

 

Точка не имеет размеров (объема)

Линия – траектория непрерывного

движения точки. Не имеет

толщины, имеет бесконечную

протяженность.

Прямая, луч, отрезок –

- частный случай линии.

 

 

В начертательной геометрии поверхность определяется как след движущейся линии или другой поверхности.

 

Методы проецирования

Центральное проецирование и его свойства

 

S S -

a (A,B,C) -

B П₁ -

A [SA), [SB), [SC) -

C SA Ç П₁ = А₁

B₁ SB Ç П₁ = В₁

A₁ SC Ç П₁ = С₁

a₁ = (A₁, B₁, C₁) -

C₁ П₁

Рис.1.1

С.1. Проекция точки на плоскость есть точка: A® A₁ (рис.1.2).

" B₁ Þ $ (B, B^¢,..., Bⁿ Î SB₁)

 

С.2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая: AB® A₁B₁ (рис.1.3, 1.4)

Рис.1.2

С.3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии: [CÎ AB] Þ [C₁ Î A₁B₁] (рис.1.5.)

 

Рис.1.3. Рис.1.4. Рис.1.5.

Параллельное проецирование и его свойства

 

S ^ П₁, S - направление проецирования

Параллельная проекция не определяет положения геометрического образа в пространстве.

 

Рис.1.6.

 

C.4. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении: ê А₁С₁ ê/ ê С₁В₁ ê= ç AC ç / ç CB ç (рис.1.7.).

С.5. Точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих прямых [AB]Ç[CD] = KÞ Þ [A₁B₁]Ç [C₁D₁]= K₁ (рис.1.8.).

С.6. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в током же отношении, как и длины проецируемых отрезков: {[AB] || [CD] Þ [A₁B₁] || [C₁D₁]}Þ | AB | / | CD | = | A₁B₁ | / | C₁D₁ | (рис.1.9.).

Рис.1.7. Рис.1.8. Рис.1.9.

С.7. Проекции двух скрещивающихся прямых в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться, или быть параллельными: [AB ¸ CD] Þ [A₁B₁ Ç C₁D₁] Ú [A₁B₁] || [C₁D₁] (рис.1.10, 1.11.).

Рис.1.10 Рис.1.11

С.8. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения: П₁ || П₁ Þ | A₁B₁C₁ | = | A₁B₁C₁ | (рис.1.12).

А С.9. При параллельном перемеще-

нии плоской фигуры или плос-

В С кости проекций изображение

А₁ фигуры на этой плоскости не

изменяется: П₂||П₁Þ |А₂В₂|=

В₁ С₁ |А₁В₁| (рис.1.13, 1.14).

Рис.12

Рис.1.13 Рис.1.14

Ортогональное проецирование и его свойства

C.10. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а друга не перпендикулярна ей: {[AB] ^ [BC]} Ù [BC] || П₁ , [AB] ^ П₁ Þ

Þ [A₁B₁] ^ [B₁C₁] (рис.1.15).

Все приведенные выше свойства центрального и параллельного проецирования действительны для ортогонального проецирования.

 

Рис.1.15

 

Метод Г.Монжа

Образование чертежа

П₂

· А₂

 

·А

х

 

 

П₁ ·А₁

Рис.1.16

 

П₂

· А₂

 

 

х

 

П₁ ·А₁

Рис.1.17

 

Рис.1.18

Рис.1.19