Математическая модель процесса осаждения пленки

При создании модели прежде всего необходимо выделить те параметры, которые оказывают наиболее существенное влияние на моделируемый процесс, и сделать ряд допущений, позволяющих получить удобную и допустимо простую, но адекватную модель.

В общем случае толщина пленки на участке конденсации будет зависеть от скорости распыления с участка d S в направлении радиуса-вектора , расстояния между участками r, углов j и q, эмиссионной характеристики, рассеяния атомов при столкновении с молекулами рабочего газа, коэффициента конденсации и ряда других параметров. Геометрическая модель процесса нанесения пленки показана на рис. 1.5.

При моделировании в первом приближении можно сделать следующие допущения:

- распределение эмитируемых с распыляемой поверхности атомов в пространстве подчиняется косинусному закону;

- распыленные частицы летят по прямолинейным траекториям и рассеиваются за счет столкновений незначительно;

- частица конденсируется в точке соударения с поверхностью (не учитывается миграция по поверхности и отражение от нее).

Тогда для косинусного закона имеем следующее выражение для расчета толщины осажденной пленки:

h = v dt, (1.1)

где v - коэффициент, пропорциональный скорости распыления; Т ₀ - время осаждения.

Для стационарного случая

h = v (cosj×cosq/ r ²) T ₀.

Для поверхностного источника при определении толщины пленки нужно провести интегрирование по поверхности распыления, при этом необходимо учесть, что поверхность распыляется неоднородно в направлении радиуса мишени. Для этого вводится закон распределения плотности ионного тока по радиусу мишени, который в связи со сложностью моделирования плазмы и магнитной системы должен быть определен эмпирически или задан. Следует отметить, что в общем случае закон распределения распыленных атомов в пространстве может отличаться от косинусного. Тогда также необходимо учесть это отклонение введением соответствующего члена.

В результате учета вышеуказанных факторов выражение для расчета толщины пленки примет вид

h = v d S _Эd t, (1.2)

где Ф(cos j) - функция, описывающая реальное (некосинусное) распределение распыленных атомов в пространстве; П(R) - полином, учитывающий распределение плотности ионного тока по радиусу зоны распыления; S _Э - площадь распыляемой поверхности (поверхности эмиссии).

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо выявить:

- распределение эмитированных атомов в пространстве Ф(cos j);

- распределение плотности ионного тока по радиусу зоны распыления П(R);

- аналитические выражения для cos j, cos q и r.

Реальное распределение эмитированных атомов в пространстве может быть выражено в виде

Ф(cos j) = (1 + m)cos^m j, (1.3)

где m - эмпирический коэффициент, учитывающий отклонение эмиссионной характеристики от косинусного закона распределения.

Распределение плотности ионного тока по радиусу мишени, зависящее от условий локализации плазмы и конфигурации зоны распыления, может быть описано полиномами различного вида, например:

П(R) = a _iRⁱ или П(R) = a _i | – R | ⁱ.

В случае равномерного распределения ионного потока по зоне распыления П(R) = 1. При треугольном профиле распределения (в центре зоны максимум, на границах - ноль) получим

П(R) = 1– (2/ l)| – R |. (1.4)

При интегрировании по распыляемой поверхности в качестве переменных удобно выбрать радиус мишени R и полярный угол a. Тогда элементарный участок поверхности d S определится из выражения

dS_Э = (R dR da)/cos g. (1.5)

Подставив (1.5) в (1.2), получим выражение для интенсивности потока частиц в заданную точку конденсации (скорость осаждения v ₀) для стационарной внутрикамерной системы:

v ₀ = d h /d t = v d R da. (1.6)

Используя геометрическую модель рис. 1.3, находим:

(1.7)

где H ₁ = +( – R)tg g; G ² = R _к² – 2 R _к R cos a + R ².

Подставив (1.7) в (1.6), получим аналитическую модель моделируемой системы для косинусного распределения в виде:

v ₀ = v d R da, (1.8)

где R ₁= – 0,5 l cos g; R ₂= + 0,5 l cos g.

Для обеспечения адекватности модели необходимо ввести ограничения, учитывающие тот факт, что процесс осаждения пленки между участками распыления и конденсации реализуется в том случае, если угол между радиусом-вектором и нормалями к соответствующим участкам и не превышает 90°. Данные ограничения могут быть записаны в виде cos j > 0, cos q > 0. При невыполнении этих условий подынтегральное выражение обращается в ноль.

Для оценки равномерности пленки по толщине в осесимметричной системе достаточно определить распределение пленки по радиусу пластины. С этой целью находятся значения v ₀ для N точек на радиусе пластины с некоторым шагом D R _к. Неравномерность пленки можно оценить по формуле

d = ± [(v _{0 max} – v _{0 min})/(v _{0 max} + v _{0 min})]×100 %, (1.9)

где v _{0 max} = { v ₀ (n)}; v _{0 min} = { v ₀ (n)}.

Коэффициент n перед интегралом в выражении (1.8) представляет собой скорость эмиссии распыленных частиц. Он зависит от типа источника (точечный или поверхностный) и скорости распыления v _р, которая в свою очередь зависит от энергии и массы ионов, вида распыляемого материала, плотности ионного тока и ряда других параметров. Для поверхностного источника коэффициент n можно рассчитать по формуле:

n = v _p/p = , (1.10)

где v_p - скорость распыления, м/с; j_i - плотность ионного тока, А/м²; е – элементарный заряд, Кл; z - кратность заряда иона; К_р - коэффициент распыления, атом/ион; А - атомная масса распыляемого материала, кг/моль; N_A - число Авогадро, атом/моль; r - плотность распыляемого материала, кг/м³.

Недостатком полученной модели (1.8) является то, что она не учитывает влияния рабочего давления на процесс осаждения и достаточно адекватна только для низких давлений, при которых рассеяние потока распыленных атомов на атомах рабочего газа за счет столкновений незначительно. Кроме того, модель не учитывает изменения условий осаждения во времени в процессе эрозии мишени, когда из-за неравномерной плотности ионного потока распыляемая поверхность приобретает неплоскую форму.

Влияние рабочего давления можно учесть через коэффициент распыления, вводя в него поправки на явления обратного рассеяния (отражения) и обратной диффузии распыленных атомов. Обратное рассеяние представляет собой процесс возврата распыленного атома на мишень при его столкновении с атомом рабочего газа. Этот процесс происходит на расстояниях, не превышающих длины свободного пробега распыленной частицы, и зависит от соотношения масс и кинетических энергий соударяющихся частиц. Под обратной диффузией следует понимать возвращение на мишень распыленных атомов с расстояний, значительно превышающих длину свободного пробега, которые за счет многочисленных столкновений с атомами газа уменьшили свою энергию до значений, соответствующих средней кинетической энергии атомов рабочего газа.

Для случая, когда масса распыленного атома больше массы атома газа, основным процессом возвращения распыленных атомов на мишень является обратная диффузия, и величина коэффициента распыления с учетом этого явления может быть определена по формуле

К = К _р [2,3l_а0 / (2,3l_а0 + P ₀ r – L _a)], (1.11)

где l_а0 - длина свободного пробега распыленных атомов при единичном давлении и температуре 273 К; P ₀ = 273 P / Т - давление газа, приведенное к температуре 273 К;
P – реальное давление рабочего газа; r - расстояние между участками распыления и конденсации; L _a - средняя длина направленного пробега распыленного атома при единичном давлении газа. Возврат распыленных атомов возможен с расстояний, для которых р ₀ r > L _a. Для меньших расстояний все распыленные атомы достигают поверхности конденсации, т.е. К = К _р.

Когда масса распыленных атомов меньше массы атомов газа, то для области P ₀ r £ L _a наблюдается обратное рассеяние, и в этом случае

К = 0,5 К _р[1 + exp(– Р ₀ r /l_{а T})]. (1.12)

Для области P ₀ r > L _a будет наблюдаться возврат распыленных атомов за счет как обратного рассеяния, так и обратной диффузии, в связи с чем

К = 0,5 К _р {2,3l_а0[1 + exp(– P ₀ r /l_{а T})]/(2,3l_а0 + P ₀ r)}, (1.13)

где l_{а T} - средняя длина свободного пробега атома при единичном давлении и заданной температуре газа.

Величина L _a рассчитывается по формуле

L _a = l_{а T} N,

где N - среднее число столкновений атомов распыленного вещества с частицами газа, после которого энергия распыленных атомов Е _а уменьшается до уровня тепловой энергии атомов газа Е _г,

N = lg(E _г/ Е _а)/lg(1 - E _max/ E _a),

где E _max - максимальная доля энергии, передаваемая распыленным атомом атому газа при столкновении.

В табл. 1.1 приведены значения некоторых величин для ряда распыляемых в аргоне материалов, рассчитанных по формулам молекулярной кинетики газов. Для аргона m _а = 6,62×10^–26 кг, r _a = 1,92×10^–10 м.

Таблица 1.1. - Параметры распыленных в аргоне атомов различных материалов.

Параметр	Al	Si	Ti	Cu	Nb	Mo	Ag	Ta	W	Au
m a×10^–25, кг	0,447	0,462	0,799	1,052	1,570	1,596	1,795	3,007	3,176	3,271
r a×10^–10, м	1,43	1,34	1,46	1,28	1,45	1,39	1,44	1,46	1,40	1,44
la0×10^–3, Па×м	9,25	9,70	7,92	8,24	6,44	6,63	6,18	5,02	5,10	4,90
laТ×10^–3, Па×м	14,24	14,95	12,12	12,70	9,92	10,22	9,52	7,74	7,84	7,54
la×10^–2, Па×м	2,22	2,21	1,40	2,18	3,24	3,50	2,96	5,60	5,80	5,52

Влияние эрозии зоны распыления на равномерность пленки в первом приближении можно учесть, считая, что профиль зоны распыления меняется согласно закону распределения плотности ионного тока П(R). Наиболее простая модель получается при треугольном профиле распределения ионного тока (см. формулу (1.4)). В этом случае распыляемую поверхность можно представить как суперпозицию двух конических поверхностей. Геометрическая модель процесса нанесения пленки с учетом эрозии мишени показана на рис. 1.6.

Первая коническая поверхность располагается на отрезке [ R ₁, ] и задана параметрами , , g₁, l ₁, а вторая – на отрезке [ , R ₂] и имеет параметры , ,g₂, l ₂. Максимальная глубина эрозии h _э определяется скоростью распыления v _p (см. формулу (1.10)) и длительностью процесса.

Параметры выделенных распыляемых поверхностей выражаются через параметры мишени:

g₁ = g – arctg(2 h _э/ l);

g₂ = 2g – g₁;

l ₁ = l ₂ = ;

R _э = - 0,5 l cos g + l _э сos g₁;

= + 0,5 l sin g – 0,5 l _э sin g₁;

= + 0,5 l sin g – l _э(sin g₁+ 0,5sin g₂);

= – 0,5 l _э cos g₁;

= + 0,5 l _э cos g₂.

Для проектировщика внутрикамерного устройства важным параметром является коэффициент полезного использования материала мишени, представляющий собой отношение количества осажденного на пластину материала к количеству распыленного с мишени материала. Количество осажденного материала (объем V₀) можно определить как произведение среднего значения толщины пленки на площадь пластины:

V₀ = v _pT₀p R _п², (1.14)

где v _p - значение скорости осаждения (среднеарифметическое) для N точек на радиусе пластины, расположенных с шагом D R _к, по которым проводится оценка равномерности пленки, а Т₀ - длительность процесса осаждения пленки.

Аналогично количество распыленного материала V_p можно оценить как произведение среднего значения толщины распыленного слоя на площадь зоны распыления:

V_p = ([ v _pП(R_i) ]/ N)×(p[ R ₂² – R ₁²]T₀ / cos g). (1.15)

Разработанная математическая модель процесса осаждения пленки связывает основные конструктивные и технологические параметры внутрикамерного устройства и учитывает наиболее важные факторы, влияющие на процесс формирования пленки, что позволяет создавать на ее базе пакет прикладных программ для расчета и оптимизации внутрикамерных устройств УВН с кольцеобразными источниками распыляемого материала. Модель реализована в виде программы “MAGNA”, которая позволяет проводить оптимизацию конструкции внутрикамерного устройства по трем параметрам ( и g) четырьмя различными методами (“золотого сечения” - для варианта оптимизации по одному параметру, покоординатного спуска, симплекс-методом и методом Монте-Карло - для многопараметрической оптимизации – по двум и более параметрам).

В настоящее время созданы более сложные модели, учитывающие произвольное положение подложки относительно мишени. Модели позволяют выбирать форму зоны распыления, при которой обеспечивается заданная равномерность пленки при высоком коэффициенте использования материала мишени.

1.2 Лабораторное задание

1. В соответствии с изученной методикой моделирования технических систем проработать математическую модель системы нанесения пленок магнетронным распылением, используя теоретический материал по данной теме.

2. Получить вариант задания и, используя компьютерную программу «MAGNA», провести расчет и оптимизацию конструктивно-технологических параметров внутрикамерного устройства по трем критериям: равномерности пленки по толщине, производительности системы и коэффициенту использования материала мишени.

Техническое оснащение

Для выполнения работы необходим компьютер с установленной программой «MAGNA». Занятия проводятся в компьютерном классе МИЭТ. Специальных требований к оснащению компьютера не предъявляется, дополнительного прикладного программного обеспечения не требуется.

Методика выполнения работы

Рекомендуется следующий порядок выполнения работы:

1. Лабораторное занятие делится на два этапа:

─ проработка математической модели системы нанесения пленок магнетронным распылением по изученной на лекции методике моделирования технических систем на основе теоретического материала по данной теме в рамках аудиторного занятия;

─ проведение расчета и оптимизации конструктивно-технологических параметров внутрикамерного устройства по трем критериям (равномерности пленки по толщине, производительности системы и коэффициенту использования материала мишени) с использованием компьютерной программы «MAGNA» в компьютерном классе.

2. Проработка математической модели в аудитории включает следующие мероприятия:

─ контрольный опрос студентов на знание методики моделирования технических систем (излагается на лекции и представлена дополнительно в электронном модуле для самостоятельной работы студентов);

─ проработка математической модели системы нанесения пленок магнетронным распылением на основе знаний об объекте моделирования из ранее изученного курса «Вакуумно-плазменные процессы и оборудование» и теоретического материала данной разработки.

3. Проведение расчета и оптимизации конструктивно-технологических параметров внутрикамерного устройства в компьютерном классе с использованием компьютерной программы «MAGNA» состоит из следующих этапов:

─ контрольный опрос студентов на знание проработанной в рамках аудиторного занятия математической модели (фактически допуск к работе за компьютером; студенты, не прошедшие тестирование на знание материала, к выполнению работы не допускаются);

─ получение варианта задания на разработку;

─ знакомство с программой «MAGNA»;

─ проведение моделирования системы по полученному варианту задания.

4. Этап моделирования системы (выполнение задания) осуществляется в следующей последовательности:

─ провести расчет параметров исходной конструкции внутрикамерного устройства в соответствии с заданием (пример варианта задания приведен в табл. 1.2) и оценить предложенную конструкцию по трем критериям: равномерности пленки по толщине, производительности системы (скорости осаждения пленки) и коэффициенту использования материала мишени;

─ провести оптимизацию исходной конструкции внутрикамерного устройства по одному из параметров в соответствии с заданием (см. пример варианта задания, пункт «первый параметр оптимизации») и оценить полученную конструкцию по тем же трем критериям;

─ провести оптимизацию исходной конструкции внутрикамерного устройства одновременно по двум параметрам в соответствии с заданием (см. пример варианта задания, пункт «второй параметр оптимизации») и оценить полученную конструкцию по тем же трем критериям;

─ при отсутствии положительного результата (невыполнении критериев на заданном уровне) провести оптимизацию одновременно по трем параметрам и оценить полученную конструкцию по тем же трем критериям;

─ сделать выводы о результатах моделирования и возможности проектирования предложенной конструкции внутрикамерного устройства; при отрицательном результате предложить пути совершенствования конструктивной схемы внутрикамерного устройства для достижения критериев эффективности системы.

Таблица 1.2. – Пример варианта задания.

ВАРИАНТ № 1 Угол конусности мишени g, град Средний радиус мишени мм Среднее расстояние мишень-подложка , мм Ширина зоны распыления на мишени l, мм Распыляемый материал Максимальная плотность ионного тока ji, А/см^2 Радиус подложки RП, мм Параметры оптимизации: 1-й параметр – угол конусности мишени g граница диапазона 2-й параметр – средний радиус мишени граница диапазона

AL 0,1     -10

5. Сдать работу преподавателю:

─ показать в отчете результаты моделирования с оценкой системы по каждому из критериев и отметить вариант конструкции, наиболее удовлетворяющий предъявляемым требованиям;

─ при возникновении вопросов по итогам моделирования подтвердить их, продемонстрировав преподавателю результаты на экране дисплея;

─ обосновать целесообразность или нецелесообразность проектирования моделируемой системы; предложить пути совершенствования конструктивной схемы внутрикамерного устройства для достижения критериев эффективности системы.

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

- краткие теоретические сведения о моделируемом объекте;

- математическую модель объекта, изложенную в последовательности, соответствующей методике моделирования;

- результаты моделирования;

- выводы по результатам исследований о целесообразности проектирования моделируемой конструкции или путях совершенствования конструктивной схемы внутрикамерного устройства для достижения заданных критериев эффективности.