Передаточная функция и частотные характеристики апериодического звена 1-го порядка.

Для исследования процессов, связанных с изменением материально-энергетических потоков в объектах необходимо получить решения его уравнений движения. С точки зрения простоты получения решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и компактности их представления наибольшими преимуществами обладает метод, основанный на интегральном преобразовании Лапласа.

Пусть – -вектор состояния объекта, тогда его изображение , т.е. результат применения к нему преобразования Лапласа, определяется выражением

, (2.35)

где - комплексное число, причем .

По изображению можно восстановить оригинал, т.е. вектор , если воспользоваться обратным преобразованием Лапласа

,

где - положительное вещественное число.

Однако обратное преобразование Лапласа используется не столь часто как прямое, т.к. представление информации о динамике управляемых процессов в виде их изображений во многих случаях лучше отвечает специфическим особенностям задач управления.

Отметим, что для преобразования Лапласа используют сокращенное символическое обозначение

,

а обратное преобразование Лапласа обозначают как

.

Наряду с передаточными функциями к динамическим характеристикам объектов относятся их частотные характеристики.

Важную роль при изучении динамики объектов играют комплексные частотные характеристики (КЧХ). Если задана передаточная функция объекта , то его КЧХ можно определить, полагая , где - мнимая единица, а - круговая (циклическая) частота. В отличие от передаточной функции , КЧХ объекта допускает наглядное графическое представление на комплексной плоскости.

График КЧХ принято называть годографом КЧХ. Для его построения на мнимой и вещественной координатных осях откладываются соответственно значения и , определяющие мнимую и вещественную координаты точки годографа КЧХ при заданном значении частоты .

Апериодическое (инерционное) звено: Уравнение и передаточная функция звена:

;, (3.7)

где - постоянная времени; - коэффициент передачи.

Получим формулу для переходной характеристики апериодического звена, воспользовавшись выражением (1.3.9), в котором полагаем .

В результате имеем

. (3.8)

График переходной функции апериодического звена представлен на рис. 3.1, где , а .

 

Рис. 3.1.

Обратим внимание, что в отличие от звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями более высоких порядков, переходная характеристика апериодического звена, как видно из рис. 3.1, не имеет точки перегиба.

Продифференцировав по времени равенство (3.8) получим выражение для импульсной переходной функции звена

.

Вид импульсной переходной функции для апериодического звена показан на рис. 3.2, где , .

Рис. 3.2.

 

Частотные характеристики апериодического звена:

; ; .

Примерами апериодического звена являются электродвигатель (в первом приближении), если - управляющее напряжение, - угловая скорость вала, а также цепочка , в которой - входное напряжение, а - ток в цепи.