Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимости от числа n разбиений интервала (то есть при шаг ). На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R _min, которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R.

 

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h.

Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .

Уменьшив шаг в два раза, получим .

Если последовательно уменьшать шаг в 2ⁿ раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:

R(1;1)

R(2;1) R(2;2)

R(3;1) R(3;2) R(3;3)

R(4;1) R(4;2) R(4;3) R(4;4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

.

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.

 

Метод Симпсона.

Подинтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x _i+1 – x _i), то есть три узла x ₀, x ₁, x ₂, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

.

Пусть z = x – x ₀,

тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

.

В итоге .

Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подинтегральной функции.

 

Блок-схема алгоритма метода Симпсона.

Методы Монте-Карло.

1) одномерная случайная величина – статистический вариант метода прямоугольников.

В качестве текущего узла x_i берется случайное число, равномерно распределенное на интервале интегрирования [ a, b ]. Проведя N вычислений, значение интеграла определим по следующей формуле: . Для R можно утверждать хотя бы ~ .

2) двумерная случайная величина ­– оценка площадей.

Рассматриваются две равномерно распределенных случайных величины x _i и y _i, которые можно рассматривать как координаты точки в двумерном пространстве. За приближенное значение интеграла принимается количества точек S, попавших под кривую y = f (x), к общему числу испытаний N, т.е. .

И первый, и второй случай легко обобщаются на кратные интегралы.