Метод конечных элементов и его применение

 

Метод конечных элементов возник как один из приемов исследования различных конструкций. В настоящее время он повсеместно признан как общий способ решения широкого круга задач в различных областях техники.

Определение

Инженерный анализ методом конечных элементов заключается в аппроксимации сплошной среды с бесконечно большими числами степеней свободы совокупностью элементов (подобластей), имеющих конечные числа степеней свободы. Между этими элементами устанавливается взаимосвязь. Признание метода объясняется простотой его математической формы и физического толкования.

Применение в механике

Метод конечных элементов в механике разрушения и в задачах строительной механики выражается как соотношение МКЭ в форме перемещений. Вначале задаются в рамках каждого элемента так называемые функции формы. Они определяют перемещение во внутренней области элемента по перемещению в узлах. Последние – это точки, где сочетаются конечные элементы.

Неизвестными МКЭ являются возможные и независимые перемещения узлов конечно элементной модели (КЭМ). Таким образом, КЭМ конструкции представляет собой систему закрепленных узлов. Дополнительные связи соотносятся с направлением возможных перемещений узлов.

 

Суть метода

По своей сути элементная модель конструкции аналогична основной системе классического метода перемещений, которая применяется при расчете стержневых систем. Для достижения восприимчивой точности результатов расчетов по методу конечных элементов приходится уменьшать размеры элементов, увеличивая тем самым точность аппроксимации геометрических характеристик и функций перемещений в пределах конечного элемента.

КЭМ сложных конструкций достигают сотен и даже миллионов степеней свободы, а потому метод конечных элементов в технике является машинно-ориентированным, реализация которого возможна только посредством компьютеров.

Практическая реализация

Для применения МКЭ на практике необходимо разбираться не только в теории механики, но и обладать знаниями в области программирования. Применение метода конечных элементов зачастую строится на базе вариационных принципов механики, в основе которых заложены два фундаментальных скаляра: потенциальная и кинетическая энергия упругой конструкции. Определение этих скаляров, независимых от выбранной системы координат, позволяет записывать соотношение МКЭ в инвариантной форме.

Для обеспечения удобства программирования соотношения МКЭ записываются в компактной матричной, или тензорной форме. На сегодня моделирование методом конечных элементов достаточно полно математически обосновано, созданы высокоэффективные программные продукты, которые все время совершенствуются вместе со средствами программирования.

Учебно-вычислительные программы

Технический прогресс, особенно в области ЭВМ, существенно изменил взгляды на постановку и решение инженерных задач. Построение расчетной модели тесно связано с процессом вычислений, и разделить эти два этапа на пути получения практических результатов почти невозможно.

Метод конечных элементов широко применяется в инженерной практике, что также способствовало включению его в учебные программы вузов. МКЭ предоставляет способы построения математической модели исследуемого явления исходя из его физической сущности.

Первые учебники по МКЭ были написаны сложным языком, но вскоре методика преподавания была упрощена благодаря внедрению специализированных программ. Например, хорошо себя зарекомендовал программный комплекс «Ассистент». Он позволяет проверить знания студентов в интерактивном режиме и способствует развитию навыков работы с программными продуктами при решении практических задач.