Уточнение значения изолированного корня методом простых итераций

Пример №1

Решить следующее уравнение методом простых итераций:

Построим графики функций и отделим интервалы с корнями:

Рис. 1. Графики функций (х-1)² и е^х/2

Как видно из графиков, интервал, содержащий корень, только один: [0;2]. Подставим полученные данные в программу:

 

Рис. 2. Скриншот решения примера №1

Ответ: на интервале [0;2] уравнение имеет корень х = 0.231;

Пример №2

Решить следующее уравнение методом простых итераций (при х>0):

Построим графики функций и отделим интервалы с корнями:

Рис. 3. Графики функций sin(0.5x)+1 и x²

Как видно из графиков, 2 интервала, содержащих корень: [-1;-0.5] и [1;1.5]. По условию необходимо взять х>0 => берем интервал [1;1.5]. Подставим значения в программу:

 

Рис. 4. Скриншот решения примера №2

Ответ: на интервале [1;1.5] корень уравнения х = 1.260

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пример №1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Подставим коэффициенты при неизвестных и свободные члены в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: невязки уравнений близки по значению к 0, корни данной СЛУ равны:

 

Обращение матриц методом Гаусса

Пример №1

Найти для заданной матрицы обратную методом Гаусса:

Подставим элементы матрицы в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: для заданной матрицы получена обратная, проверка перемножением дала единичную матрицу. Полученная обратная матрица:

Пример №2

Найти для заданной матрицы обратную методом Гаусса:

Подставим элементы матрицы в программу:

Рис. 2. Скриншот решения примера №2

Ответ: для заданной матрицы получена обратная, проверка перемножением дала единичную матрицу. Полученная обратная матрица:

Решение систем линейных уравнений методом простых итераций

Пример №1

Решить систему линейных уравнений методом простых итераций:

Подставим коэффициенты в программу:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: решения данной СЛУ найдены на 27 шаге итерации, полученные значения корней равны:

 

Пример №2

Решить систему линейных уравнений методом простых итераций:

Подставим коэффициенты в программу:

Рис. 2. Скриншот решения примера №2

Ответ: решения данной СЛУ найдены на 27 шаге итерации, полученные значения корней равны:

Интерполирование функций

Пример №1

Построить интерполяционный полином Лагранжа и вычислить с помощью него приближенное значение функции:

Х	0,43	0,48	0,55	0,62	0,70	0,75
У	1,63597	1,73234	1,87686	2,03345	2,22846	2,35973

Вычислите значение функции у(х), при х = 0,445; 0,639; 0,702.

Подставим данные в программу:

 

Рис. 1. Скриншоты решений примера №1

Ответ: y(0.445) = 1.664; y(0.639) = 2.078; y(0.702) = 2.234

Численное интегрирование

Формула левых прямоугольников

Пример №1

Численно проинтегрировать выражение при помощи формулы левых прямоугольников:

Рис. 1. Скриншот решения примера №1

Ответ: значение данного интеграла численно равно 0.447