Прямоугольная с к на плоскости

Прямоугольная с к на плоскости

На плоскости задана декартова прямоугольная с.к, если задана пара взаимоперпердик осей и при этом условленна какая из этих осей явл первой, а какая второй, а также задан единичный или масштабный отрезок, т. О – пересечение осей нач корд. Первую ось наз осью абсцисс (ОХ) вторую – ордината (ОУ) это оси координат.

Пусть М произвольная т. плоскости. Из этой т. опустим перпендик на оси координат. Абсциссой т. М наз. Величину отрезка ОК оси ОХ, а ардинатой ОС оси ОУ. Пару Пару чисел х и у где х=ОК, у=ОС наз. Корд т М в выбранной с.к. Тот факт что т. М=О тогда и только тогда, когда т. М лежит на оси ОУ, а ордината =О когда т. М лежит на оси ОХ.

У начала корд т О и только у него обе корд =О т.о каждой т. М плоскости соотв пара действит чисел (х,у) корд этой точки и на оборот, каждой паре действит чисел соотв и при этом только 1 точка на плоскости для которой эти числа будут ее корд.

Каждая корд ось разбивает на 2 ч, а вместе оби оси разбив его плоскости на 4 четверти

 

Полярная с.к на плоскости

Возьмем на плоскости т. О и через нее ось ОР. Будем наз т. О полюсом, а полуось т.е лучь выходящий из т. О в положит направлении для оси ОР полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного (масш) отрезка ОЕ опред на плоскости полярную с.к. Возьмем т. М и соед ее с полюсом. Полярным рариусом РО любой т. М плоскости наз ее расстояние от полюса О, т.е длина отрезка ОМ- полярн радиус (q) Полярным углом g т. М наз угол наклона направл ОМ к полярной оси ОР, угол g опред с учетом знака и до слогаемого 2ПК, т.е обычно в качестве полярных углов в т. плоскости берут главные значения 0≤g≤2П(360). Числа q и g т.е поляр град и угол наз полярн корд. Для т. О полюса при q=0 угол g не имеет опред значения. Задание любой пары действ чисел q и g где q не отриц позволяет построить на плоскости 1 и только 1 т. М для которой эти числа явл ее полярной корд, если q=0 т. М совпад с полюсом если q>0, то построение т М сводится к построению ОМ, угол наклона которого в полярной оси= g, а длина =q

Линии и их уравнения на плоскостях

Пусть х и у переменные величины каждая из которых может принимать различные значения. Рассмотрим уравнение F(х,у)=0

 

Будем говорить что числа х0, у0 удовлетворяют уравнению, если подставив их вместо переменных х и у в выражение F(х,у) мы получим тождество F(х0,у0)=0 и наоборот если числа х0 и у0 не удовлетв уравнению то подставив их в левую часть вместо переменных х и у мы получим что F(х,у)не равно 0

2у-х=0; х=2, у=й – удовлетв;; х=3, у=1 – не удовлетв

Уравнение F(х,у)=0 может удовлетворять 1 пара действ чисел, несколько и даже безчисленное множество таких пар. Существует уравнение которым не удовл не 1 пара действ чисел х4+у2+1=0 х4+у2=-1 В аналит геометрии линии рассматр как геом место точек и их составлющее например окружность опред как геом место точек плоскости равно отстоящее от некоторой фиксир т плоскости, т.е центра окружности. Биссектр плоского угла можно рассматривать как геом место точек равноотстоящих от сторон этого угла. Пусть на данной плоскости выбрана декартова прямоуг ск ХОУ. Уравнение F(х,у)=0 связывающее 2 переменные величины х и у наз уравнением линии в выбранной с.к на плоскости, если корд любой т линии удовлетв этому уравнению а корд т не принадлежит линии – этому уравн не удовлетв. Т.о уравнение линии есть соотношение связыв корд т данной линии и только ее. Это соотнош представл собой аналит запись. Т.е запись с помощью формулы того свойства которое выделяет среди данной линии т.е уравнение линии это запись св-ва которое опред данное геометр место точек. Например возьмем окруж с радиусом Р и пусть центр т. О (а;в) Т.о окруж опред как геом место т отстоящих от т О на расстояние Р. (х-а)2+(у-в)2-Р2=0. (х-а)2+(у-в)2=Р2

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение 1 степ относит х и у (Ах+Ву+С=0) опред в прямоуг с.к ХОУ некоторую прямую. Возможные случаи: А, В, С не равны 0 разделим все члены уравн на коэф у=-А/Вх-С/В, обозначим через к=-А/В, в=-С/В, у=лх+в

А=0, В,С не равно 0, Ву+С=0 у=-С/В обозначим в, у=в – уравн прямой.

А, С не равно 0 В=0 Ах+С=0 х=-С/А, х=а уравн прямой проход через т А параллел оси орд.

С=0 А,В не равны 0, Ах+Ву=0, у= -А/Вх, к=-А/В, у=кх – уравн прямой прох через нач корд.

А=0, С=0, В не равно 0 Ву=0 у=0 ось абсц

В=0, С=0 А не равно 0 Ах=0 х=0 ось орд.

Во всех случаях уравнения где А и В одновременно не равны – явл уравнением прямой. В прямоуг декарт с.к всякая прямая м.б представлена уравнением 1 степени и обратно любое уравнение 1 степ относит х и у опред прямую линию.

Сложение векторов

Суммой векторов а и в наз такой вектор с начало которого совпад с началом вект а, а конец с концом вект в, при условии что нач вект в приложено к концу вект а.

Св-ва; слож вект подчин перемест закону а+в=в+а

Слож вект подчин сочетат закону (а+в)+с=а+(в+с)

Вычитание векторов

Разностью векторов а и в наз вект с для которого с+а-в=а+(-в). Для геом построения вект разности с=а-в, можно поступить 1 из 2 способов.

Проекции векторов

Проекция МР на ось наз велич отрезка М,Р где М- это проекция нач вект, Р-проекция конца вект на эту ось. Проекцию вект принято обознач а'

Проекц вект на оь = произвед модуля вектора на cos угла наклона вектора к оси а'=|а|cosq

Проекц суммы векторов на ось = сумма проекций слогаемых векторов на эту же ось

Основные понятия и опред матричной алгебры

Матрица – это прямоугольный массив чисел располож по строкам и столбцам. Матрицы служат для представления численных данных в удобном для матем обработки форме. В общем виде матрица запис след образом:

 

Аij – элемент матр; i строка, jстолбец

Размеренность А-кол-во строк и столбцов (Аm×n) Если кол-во строк и столбцов = то А-квадратня порядка n Квадр А порядка n будет наз единичной если все элем глав диаг =1 а все элементы вне диаг =0

Диагональной А наз квадр А в которой все элем не наход на глав диаг=0, А все элементы которой явля 0, наз нулевой, обозн Оn, А сост из 1 элем есть просто число, А сост из 1 строки наз вектором строкой, А сост из столбца часто для удобства запис из строки.

 

 

Сложение, Вычитание матриц

Суммой 2 матриц А и В имеющ соотв равные кол-ва строк и столбцов наз матрица элементы которой равняются сумме соотв элементов матриц А и В.

Св-ва: сложение подчиняется переместит закону А+В=В+А

Сложение подчиняется сочитат закону А+(В+С)=(А+В)+С

А+0=0+а=А нулевая

Вычитание: Разность 2 матриц опред формулой А-В=А+(-В). Т.о А-В есть С где элемент С есть разница элементов стоящих на одинаковых местах

Умножение матриц на число

Произведение числа к на матрицу А или наоборот наз матрица которая возникает из матрицы путем умнож всех ее элементов на число к

Св-ва: если мы умнож 1 на А получим А

0А=А*0=0 нулевая

Переместит закон

А(-1)=-А

А+(-А)=0 нулевая

(-К)А=-(КА)

-(А+В)=А-В

Св-ва умножения матриц

АВ не равно ВА не подчин перемест закону

АЕ=ЕА=А

Произвед матр подчиняется сочитат закону А(ВС)=(АВ)С

Произвед матриц подчин распред закону (А+В)=АС+ВС

Протзвед 2 матриц м.б нулевой А хотя не один из сомножителей не есть нулевой А

Трансформированная матрица

А'которую получ из матр А заменяя строки на столбцы, а столбцы на строки наз трансформиванной матр и обознач А'А=[а11,а12….а1n] есть столбец А'[а11 а12, а1n] и наоборот.

Св-ва: ТР-ая А с суммой двух А = сумме тр-ых матриц слогаемых (А+В)'=А'+В'

Тр-ая матрица, произвед 2 матриц= произвед тр-ых матриц перемнож в обратной последоват (АВ)'=В'А'

Обратная матрица

Дана квадратная матрица А произвольного n-ого порядка, пусть Е-единич матрица, того же порядка. Квадрат матр Х такая что ХА=АХ=Е, наз матрицей обратной матрице А и обознач А¯¹

Св-ва: матр обратная матрице обрат матр А = матр (А¯¹)¯¹=А

Обрат матр произвед 2 квадр матр одного порядка= произв обрат матр умнож в обратной последовательности (АВ)¯¹=В¯¹А¯¹

Датерминант(определитель)

Значение опред 1 порядка есть число равное его элементу.

Пусть дана матрица 2 порядка необх вычисл определитель.

Определитель = а11*а22-а12*а21

Дана матрица 3 порядка

 

Свойства определителей

Опред не меняется при транспонировании

Если один из столб или строк состоит только из 0 то опред=0

Если 2 столбца или 2 строки опред идентичны то опред=0

Если поменять местами 2 строки или 2 столбца то изменится только знак

Если все элем какой либо строки или столбца содержат общий сомножитель, то его можно вынести за знак определителя

Если к елементам одной строки или столбца опред добавить соотв элем др строки или столбца на одно и тоже число л, то знач опред не изменится

Определитель содерж 2 пропорц строки =0

Опред обрат матрицы=обратному знач опред матрицы |А¯¹|=1/|А|

Союзная матрица

Транспонированная матр, матрр Д наз союзной матрр, матр А и обознач А в степ d

Теорема: если квадр матр А не особая, то произв этой матрицы А и союзной с ней матр = единичной матр умнож на опред матр А; А*А в степ d=|А|*Е

Ранг матрицы

Обознач р(А), наз наиб порядок который могут иметь ее миноры не обращающиеся в ноль.

Минор матрицы – определитель матрици составл из элем данной матрицы, стоящих на пересеч произвольно выделен ее строки и столбца

Треугольные матр

Квадратная матр в которой все элем наход над главной диагональю или под ней наз треугольной матр.

Св-ва: сумма треуг снизу(сверху) матр есть матр треуг снизу(сверху)

Произвед треуг матр снизу(св) есть матр треуг св(сн)

Определитель треуг матр = произвед элементов наход на глав диаг

 

Прямоугольная с к на плоскости

На плоскости задана декартова прямоугольная с.к, если задана пара взаимоперпердик осей и при этом условленна какая из этих осей явл первой, а какая второй, а также задан единичный или масштабный отрезок, т. О – пересечение осей нач корд. Первую ось наз осью абсцисс (ОХ) вторую – ордината (ОУ) это оси координат.

Пусть М произвольная т. плоскости. Из этой т. опустим перпендик на оси координат. Абсциссой т. М наз. Величину отрезка ОК оси ОХ, а ардинатой ОС оси ОУ. Пару Пару чисел х и у где х=ОК, у=ОС наз. Корд т М в выбранной с.к. Тот факт что т. М=О тогда и только тогда, когда т. М лежит на оси ОУ, а ордината =О когда т. М лежит на оси ОХ.

У начала корд т О и только у него обе корд =О т.о каждой т. М плоскости соотв пара действит чисел (х,у) корд этой точки и на оборот, каждой паре действит чисел соотв и при этом только 1 точка на плоскости для которой эти числа будут ее корд.

Каждая корд ось разбивает на 2 ч, а вместе оби оси разбив его плоскости на 4 четверти

 

Полярная с.к на плоскости

Возьмем на плоскости т. О и через нее ось ОР. Будем наз т. О полюсом, а полуось т.е лучь выходящий из т. О в положит направлении для оси ОР полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного (масш) отрезка ОЕ опред на плоскости полярную с.к. Возьмем т. М и соед ее с полюсом. Полярным рариусом РО любой т. М плоскости наз ее расстояние от полюса О, т.е длина отрезка ОМ- полярн радиус (q) Полярным углом g т. М наз угол наклона направл ОМ к полярной оси ОР, угол g опред с учетом знака и до слогаемого 2ПК, т.е обычно в качестве полярных углов в т. плоскости берут главные значения 0≤g≤2П(360). Числа q и g т.е поляр град и угол наз полярн корд. Для т. О полюса при q=0 угол g не имеет опред значения. Задание любой пары действ чисел q и g где q не отриц позволяет построить на плоскости 1 и только 1 т. М для которой эти числа явл ее полярной корд, если q=0 т. М совпад с полюсом если q>0, то построение т М сводится к построению ОМ, угол наклона которого в полярной оси= g, а длина =q