Метод екстраполяції економічної динаміки на основі кривих зростання.

2. Поліноміальні, експоненційні і -подібні криві зростання.

Основна мета побудови трендових моделей економічної динаміки – на їх основі зробити прогноз про розвиток досліджуваного процесу на майбутнє. Прогнозування на основі часового ряду економічних показників належить до одномірним методів прогнозування, що базуються на екстраполяції, тобто на продовженні тенденції, що спостерігалася в минулому. При такому підході передбачається, що прогнозований показник формується під впливом великої кількості факторів, виділити які або неможливо, або по які відсутня інформація. У цьому випадку хід зміни даного показника пов’язують не з чинниками, а з плином часу, що проявляється в утворенні одновимірних часових рядів.

Використання методу екстраполяції на основі кривих зростання для прогнозування базується на двох припущеннях:

– часовий ряд економічного показника дійсно має тренд, тобто переважну тенденцію;

– загальні умови, що визначали розвиток показника в минулому, залишаться без істотних змін протягом періоду випередження.

Існує декілька типів кривих зростання, які можна використовувати для моделювання економічних процесів. Щоб правильно підібрати найкращу криву зростання для моделювання і прогнозування економічного явища, необхідно знати їх особливості. Найчастіше в економіці використовуються поліноміальні, експоненційні і -подібні криві зростання. Найпростіші поліноміальні криві зростання мають вигляд:

(поліном першого ступеня)

(поліном другого ступеня)

(поліном третього ступеня) і т.д.

Параметр називають лінійним приростом, параметр – прискоренням зростання, параметр – зміною прискорення зростання.

Для полінома першого степеня характерний постійний закон зростання. Якщо розрахувати перші прирости за формулою , вони будуть постійними рівними величинами.

Якщо перші прирости розрахувати для полінома другого степеня, то вони будуть мати лінійну залежність від часу і ряд з перших приростів на графіку буде представлений прямою лінією. Другі прирости i для полінома другого степеня будуть постійні.

Для полінома третього степеня перші прирости будуть поліномами другого степеня, другі прирости будуть лінійною функцією часу, а треті прирости, що розраховуються за формулою , будуть постійними величинами.

Поліноміальні криві зростання мають наступні властивості:

- від полінома високого порядку можна шляхом розрахунку послідовних різниць (приростів) перейти до полінома нижчого порядку;

- значення приростів для поліномів будь-якого порядку не залежать від значень самої функції.

Таким чином, поліноміальні криві росту можна використовувати для апроксимації (наближення) та прогнозування економічних процесів, в яких подальший розвиток не залежить від досягнутого рівня.

Використання експоненційних кривих росту припускає, що подальший розвиток залежить від досягнутого рівня, наприклад, приріст залежить від значення функції. В економіці найчастіше застосовуються два різновиди експоненційних (показових) кривих: проста експонента і модифікована експонента.

Проста експонента представляється у вигляді функції

(17.1)

де і – позитивні числа, при цьому якщо більше одиниці, то функція зростає зі зростанням часу, якщо менше одиниці – функція спадає.

Ордината даної функції змінюється з постійним темпом приросту. Якщо взяти відношення приросту до самої ординати, воно буде постійною величиною:

(17.2)

Прологарифмуємо вираз для даної функції з будь-якої основою, наприклад :

(17.3)

Звідси випливає, що логарифми ординат простої експоненти лінійно залежать від часу.

Експоненційна функція може набирати різних чисельних еквівалентних форм:

, основна форма >0; (1)

, замінюємо на , де ; (2)

замінюємо на , де ; (3)

замінюємо на та на , де і ; (4)

, замінюємо на і на , де , . (5)

Усі ці форми використовуються на практиці для опису різних економічних процесів. Наприклад, форму (3) найчастіше використовують у фінансах. В цьому разі інтерпретується як норма річного відсотка.

Модифікована експонента має вигляд

(17.4)

де постійні величини: менше нуля, позитивна і менше одиниці, а константа називається асимптотою цієї функції, тобто значення функції необмежено наближаються (знизу) до величини . Можуть бути інші варіанти модифікованої експоненти, але на практиці найбільш часто зустрічається зазначена вище функція.

Якщо прологарифмувати перші прирости даної функції, то вийде функція, лінійно залежна від часу, а якщо взяти відношення двох послідовних приростів, воно буде постійною величиною:

(17.5)

Модифікована експонента використовується для опису економічних процесів, які обмежені знизу (рис. 17.1.). Наприклад, таку модель використовують в дослідженнях ринку.

 

Рис. 17.1. Модифікована експонента

При модифікована експонента спочатку повільно, а потім швидко зростає і обмежена знизу прямою .

При модифікована експонента спадає і також обмежена знизу значенням .

Наявність параметра змінює проблему оцінки параметрів і заважає використовувати лінійну регресію шляхом логарифмування правої та лівої частини: . Для обчислення невідомих параметрів, в даному випадку, необхідно застосовувати методи нелінійного оцінювання.

В економіці досить поширені процеси, які спочатку зростають повільно, потім прискорюються, а потім знову сповільнюють свій ріст, прямуючи до певної межі. Як приклад можна привести процес введення деякого об’єкта в промислову експлуатацію, процес зміни попиту на товари, що мають здатність досягати певного рівня насичення, і ін. Для моделювання таких процесів використовуються так звані -подібні криві зростання, серед яких виділяють криву Гомперця та логістичну криву.

Крива Гомперця має аналітичний вираз:

, (17.6)

де і , - позитивні параметри, причому >1; параметр – асимптота функції.

 

Рис.17.2. Крива Гомперця

У кривої Гомперця виділяються чотири ділянки: на першій - приріст функції незначний, на другій - приріст збільшується, на третій ділянці приріст приблизно постійний, на четвертій - відбувається уповільнення темпів приросту і функція необмежено наближається до значення . У результаті конфігурація кривої нагадує латинську букву .

Логарифм даної функції є експоненційною кривою; логарифм відношення першого приросту до самої ординати функції - лінійна функція часу.

На підставі кривої Гомперца описується, наприклад, динаміка показників рівня життя; модифікації цієї кривої використовуються в демографії для моделювання показників смертності і т. д.

Логістична крива, або крива Перла-Ріда – зростаюча функція, найбільш часто виражається у вигляді:

(17.7)

інші види цієї кривої:

, (17.8)

У цих виразах і – позитивні параметри; – граничне значення функції при нескінченному зростанні часу.

Якщо взяти похідну даної функції, то можна побачити, що швидкість зростання логістичної кривої в кожен момент часу пропорційна досягнутому рівню функції і різниці між граничним значенням і досягнутим рівнем. Логарифм відношення першого приросту функції до квадрату її значення (ординати) є лінійною функцією від часу.

Конфігурація графіка логістичної кривої близька до графіку кривої Гомперця, але на відміну від останньої, логістична крива має точку симетрії, що збігається з точкою перегину.