Проблема ототожнення в симультативних моделях

Як уже зазначалося, в симультативній моделі є змінні двох типів: ендо­генні та попередньо визначені. Ендогенні змінні вважаються стохастичними, тоді як попередньо визначені змінні трактуються як не стохастичні.

Попередньо визначені змінні поділяються на дві категорії: поточні та лагові. Так, наприклад, якщо є поточною екзогенною змінною, то вважається лаговою екзогенною змінною з одиничним лагом. Якщо є ендогенною змінною, то – лагова змінна, значення якої відоме в поточ­ний період часу , отже це значення вважається не стохастичним, а є також попередньо визначеною змінною. Право визначати, які змінні ендо­генні, а які попередньо визначені, належить досліднику, котрий розробляє модель.

Зауважимо, що не всі змінні обов’язково мають з’являтись у кожному рівнянні.

З симультативної (структурної) моделі, як ми вже розглядали вище, можна отримати скорочену форму, в якій ендогенні змінні залежать тільки від попередньо визначених змінних та випадкових величин.

Під проблемою оцінювання параметрів симультативних моделей розуміють знаходження оцінок параметрів на основі оцінених ко­ефіцієнтів скороченої форми. Якщо це можна зробити, то ми маємо право стверджувати, що модель ототожнена. І навпаки.

Ототожнена модель може бути як точно ототожненою, так і переототожненою. Точно ототожнену модель ми маємо в тому разі, коли можна отримати однозначну оцінку її параметрів. Переототожнену модель ми маємо у разі, коли для деяких параметрів структурної моделі є можливість отримати більше ніж одне кількісне значення. Крім того, модель може бути і неототожненою.

Розрахунок параметрів системи економетричних рівнянь попиту та пропозиції непрямим методом найменших квадратів.

Основні правила ототожнення

Розглянемо основні правила ототожнення симультативних моделей. Введемо таку систему позначень:

- кількість ендогенних змінних у симультативній моделі;

- кількість ендогенних змінних у окремому рівнянні;

- кількість попередньо визначених змінних у моделі;

- кількість попередньо визначених змінних у окремому рівнянні.

З врахуванням введеної системи позначень сформулюємо обов’язкову (але не достатню) умову ототожнення, яка має назву «умова порядку» і може бути визначена двома різними, але еквівалентними способами.

Визначення 1. Для ототожнення рівняння в ньому має бути опущено щонайменше змінних, які з’являються в цілому в моделі. Якщо опущено рівно змінних, рівняння буде ототожненим. Якщо опущено більше, ніж змінних, воно буде переототожненим.

Визначення 2. Для ототожнення рівняння число попередньо визначених змінних, опущених в ньому, має бути не меншим за число включених в нього ендогенних змінних мінус одиниця, тобто

Якщо , рівняння точно ототожнене, але якщо > , воно переототожнене.

Щоб проілюструвати умову порядку, звернемось до попередніх прикладів.

Приклад 1

Функція попиту:

Функція пропозиції:

– ціна. Ця модель має дві ендогенні змінні та і жодної попередньо визначе­ної. Для ототожнення в кожному рівнянні має бути опущена щонайменше змінна. В даному разі жодне з рівнянь не буде ототожне­ним.

Приклад 2

Функція попиту:

Функція пропозиції:

У даній моделі і – ендогенні, а – екзогенна.

Застосовуючи умову порядку, бачимо, що функція попиту неототожнена. З іншого боку, функція пропозиції ототожнена, бо в ній опущено рівно одну змінну ().

Приклад 3

Функція попиту:

Функція пропозиції:

У даній моделі і – ендогенні, а і – екзогенні змінні. У першому рівнянні опущено рівно одну змінну , у другому рівнянні також опуще­но рівно одну змінну . Кожне рівняння може бути ототожнене за умо­вою порядку, а отже, і модель в цілому також може бути ототожненою.

Приклад 4

Функція попиту:

Функція пропозиції:

У даній моделі і – ендогенні, а , і – екзогенні змінні. У функції попиту опущено рівно одну змінну , за умовою порядку вона точно ототожнена. А у функції пропозиції опущено дві змінні та , отже, вона переототожнена. Як зазначалось раніше, в даному разі є два способи оцінки .

Як показують попередні приклади, ототожнення рівнянь симультатив­них моделей можливе тоді, коли в окремих рівняннях опущено одну чи більше змінних, які є ще де-небудь у моделі.

Рангова умова ототожнення

Умова порядку, яка обговорювалась раніше, є обов’язковою, але не дос­татньою умовою ототожнення. Тобто може статися так, що навіть якщо умова порядку виконана, рівняння може бути неототожненим, тому що попередньо визначені змінні, які опущено в ньому, але є в моделі, можуть бути залежними. Через це відповідність між структурни­ми коефіцієнтами () і коефіцієнтами скороченої форми () не зберігаєть­ся. Тобто ми не можемо оцінити структурні параметри за коефіцієнтами скороченої форми. Тому потрібно мати як достатню, так і необхідну умову ототожнення. Такою умовою є рангова умова ототожнення, яка форму­люється таким чином.

Рангова умова ототожнення: в симультативній моделі, яка містить рівнянь з ендогенними змінними, рівняння буде ототожненим тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, утвореної з коефіцієнтів, котрі відповідають опущеним змінним рівняння, що розглядається, у всіх інших рівняннях моделі, крім даного, дорівнює .

Алгоритм перевірки рівняння за ранговою умовою:

1. Записати систему симультативних рівнянь у табличній формі.

2. Викреслити коефіцієнти рядка, в якому з’являється рівняння, що розглядається.

3. Викреслити стовпці, відповідні ненульовим коефіцієнтам, рівняння, що розглядається.

4. Отримаємо необхідну матрицю. Якщо ранг матриці точно дорівнює , то рівняння ототожнене. Якщо ранг матриці менший, ніж , рівняння неототожнене.

На базі умов порядку та рангу можна сформулювати загальні принципи ототожнення структурного рівняння в моделі, яка складається з симультативних рівнянь.

1. Якщо > і ранг матриці буде дорівнювати , то відповідне рівняння переототожнене.

2. Якщо = і ранг матриці буде дорівнювати , то відповідне рівняння точно ототожнене.

3. Якщо ≥ і ранг матриці буде меншим, ніж , то відповідне рівняння неототожнене.

4. Якщо < і ранг матриці буде меншим, ніж М-1, то відповідне рівняння неототожнене.

Тема 15. ННК. 2МНК. Рекурсивні системи одночасних рівнянь

1. Двокроковий метод найменших квадратів оцінки параметрів надідентифікованої системи одночасних рівнянь, узагальнений алгоритм методу.

2. Двокроковий метод найменших квадратів і головних компонентів.

3. Сфера застосування їх в економетричних дослідженнях.

4. Рекурсивні системи одночасних рівнянь, їх характеристика, можливість застосування МНК-оцінки для розрахунку параметрів рекурсивних систем.

5. Приклади макромоделей.

6. Прогнози.