Основные правила и формулы интегрирования

РГР № 3

Вариант № 1

1.Найдите неопределенные интегралы.

 

 

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

;

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки О (0, 0) и А (1, 1)

a) по кривой ; b) по ломаной линии ОВА, где В (0, 1);

c) по окружности .

 

 

РГР № 3

Вариант № 2

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги кривой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (1, 0) и В (0, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (1, 1);

c) по окружности .

 

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 3

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

 

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми ,x=1.

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки О (0, 0) и А (–4, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии ОCА, где C (0, 2);

c) по эллипсу .

 

 

РГР № 3

Вариант № 4

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (–2, 0) и В (0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–2, 2);

c) по окружности .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 5

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги арки циклоиды .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (0, –3) и В (3, 0)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (3, –3);

c) по параболе .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 6

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и прямой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (–1, 0) и В (0, –1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–1,–1);

c) по параболе .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 7

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги кривой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (2, 0) и В (0, 4)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (2, 4);

c) по эллипсу .

 

 

РГР № 3

Вариант № 8

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С (2, 2);

c) по прямой .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 9

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (–1, 0) и В (0, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–1, 2);

c) по эллипсу .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 10

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (4, 0) и В (0, 2)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С (4, 2);

c) по эллипсу .

 

 

РГР № 3

Вариант № 11

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линией .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (1, 2) и В (2, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (2, 2);

c) по параболе .

 

 

РГР № 3

Вариант № 12

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (9, 0) и В (0, 3)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С (9, 3);

c) по прямой .

 

 

РГР № 3

Вариант № 13

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

 

a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.   3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.   4.Произвести вычисления. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой . 5.В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл. ; . 6. Вычислите криволинейный интеграл , где L — путь, соединяющий точки А (–1, 0) и В (0, –1) a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–1, –1); c) по параболе .

 

РГР № 3

Вариант № 14

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

 

a) ; b) ; c) ; d) e) . 2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.   3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.   4.Произвести вычисления. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и . 5.В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл. ; . 6. Вычислите криволинейный интеграл , где L — путь, соединяющий точки А (–1, 0) и В (0, 2) a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–1, 2); c) по эллипсу .

 

РГР № 3

Вариант № 15

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

 

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (0, 3) и В (1, 4)

a) по кривой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (0, 4);

c) по прямой x = t−3; y=t

 

РГР № 3

Вариант № 16

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и осью Оу .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (3,0) и В (0, 3)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (3, 3);

c) по окружности .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 17

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

 

a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.     3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость. 4.Произвести вычисления. Вычислите длину дуги кардиоиды . 5.В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл. ; . 6. Вычислите криволинейный интеграл , где L — путь, соединяющий точки А (2, 0) и В (3, 1) a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (2, 1); c) по окружности .

 

РГР № 3

Вариант № 18

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

 

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по кривой ; b) по ломаной линии АСВ, где С ;

c) по прямой .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 19

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (0, 2) и В (1, 3)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (0, 3);

c) по параболе .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 20

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину астроиды .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (–4, 0) и В (0, –2)

a) по параболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С (–4, –2);

c) по прямой .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 21

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А и В

a) по гиперболе ; b) по ломаной линии АСВ, где С ;

c) по прямой .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 22

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите длину дуги кривой , ограниченной прямыми .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки O (0, 0) и В (2, 2)

a) по прямой ; b) по ломаной линии OСВ, где С (0, 2);

c) по окружности .

 

 

 

РГР № 3

Вариант № 23

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

4. Произвести вычисления.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки О (0, 0) и А

a) по прямой ; b) по ломаной линии ОВА, где В (–1, 0);

c) по полукубической параболе .

 

 

РГР № 3

Вариант № 24

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Вычислите определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница.

 

3. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость.

 

4. Произвести вычисления.

Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .

5. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.

;

.

6. Вычислите криволинейный интеграл

, где L — путь, соединяющий точки А (–2, 5) и В (0, 1)

a) по прямой ; b) по ломаной линии АСВ, где С (0, 5);

c) по параболе .

 

РГР № 3

Вариант № 25

 

1.Найдите неопределенные интегралы.

a)