Непосредственное интегрирование

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулами 1, 2, 4. Получим

.

Здесь мы применили известные формулы и . Следовательно,

.

Проверим найденный результат дифференцированием. Найдем

,

что совпадает с подынтегральным выражением, и, следовательно, интегрирование проведено правильно.

 

 

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ИЛИ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку , тогда и . Поэтому интеграл преобразуется к виду

.

Из подстановки найдем и . Тогда .

Таким образом, мы получили табличный интеграл

.

 

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем подстановку . Тогда . Переходя под интегралом к переменной , получим

.

Возвращаясь к переменной , найдем окончательно .

Сделаем проверку , что совпадает с подынтегральным выражением.

Аналогичным образом вычислим еще несколько интегралов, не делая подробных объяснений.

 

Пример 4.

 

Пример 5. .

Пример 6. .

 

 

Пример 8.

 

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Обозначим . Тогда , а (см. пример 7, формулу (3)) Получим

 

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

(см. пример 4).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант , то

Отсюда получаем

,

или ,

или .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим:

Таким образом,

.

 

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Пример 12. Вычислить интеграл

Решение. Так как , сделаем подстановку . Тогда и .

Разделив на , получим

, где .

Следовательно,

 

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пример 13. Вычислить интеграл

Решение.

 

Пример 14. Вычислить интеграл

Решение.

.

 

Пример 15. Вычислить интеграл

Решение. Применим универсальную подстановку

 

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пример 16. Вычислить определенный интеграл

Решение.

При вычислении этого интеграла были применены формулы

 

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку

Пример 17. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

Решение.

Таким образом, несобственный интеграл равен , т. е. он сходится.

 

Несобственные интегралы второго рода

Пример 18. Вычислить интеграл или доказать его расходимость.

 

Решение.

 

Так как оба предела стремятся к бесконечности, то они не существуют и поэтому, несобственный интеграл расходится (рис. 1).

	рис. 1