Лабораторные работы №№ 1, 2, 3, 4

Российской федерации

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
“Московский государственный институт
радиотехники, электроники и автоматики

(технический университет)”

 

Подлежит возврату

№ 0000

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

 

Лабораторные работы №№ 1, 2, 3, 4

 

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

 

 

Для студентов специальности 220201

 

МОСКВА 2011

Составители: А.В. Алешин

В.В. Болдов

Редактор А.В. Кочемасов

 

Методические указания содержат руководство для выполнения лабораторных работ по курсу "Моделирование систем".

Материал предназначен для студентов 4 курса дневного отделения факультета "Кибернетика" специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Методические указания содержат описание и порядок выполнения лабораторных работ, в которых изучаются методы построения и использования математических моделей при анализе и проектировании технических систем.

 

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

 

Рецензенты: М.Х. Дорри, Г.С. Колесников

 

©МИРЭА, 2011

Лабораторная работа №1

Применение методов интерполяции
для решения задач моделирования систем

Цель работы

Цель предлагаемой лабораторной работы — показать главные идеи в области вычислений и изучить методы интерполяции для построения математических моделей устройств автоматических систем. Первые работы для решения задачи моделирования обычно связаны с вычислением значений функции. Главными инструментами здесь являются «общее чутье» и «маленькие хитрости».

Второе, — это интерполяция недостающих в таблице значений, например, в логарифмической или тригонометрической таблице. В процессе решения задачи интерполяции исходными данными являются несколько узлов функции и нужно вычислить приближенно некоторые значения, которых нет в таблице. В большинстве таблиц сделано предположение, что функция ведет себя между последовательно взятыми точками, как прямая, хотя в ряде случаев разумно предположить, что она ведет себя, как квадратный трехчлен и даже многочлен более высокой степени. Приемы интерполяциииспользуются для других вычислительных задач таких, как интегрирование, дифференцирование, нахождение нулей, решение дифференциальных уравнений, оптимизация, задач анализа и проектирования систем.

Применение интерполяционных формул

Задание на лабораторную работу

Построить интерполяционные полиномы по заданным узлам, используя различные виды полиномов. Оценить точность полученной модели в зависимости от степени полинома. Оценить сложность (число умножений) решения задачи интерполяции для различных видов полиномов.

Лабораторная работа №2

Моделирование тепловой подсистемы

 

Цель работы

Целью работы является изучение принципов моделирования технических систем. В данной работе решаются задачи построения математической модели и проведение исследования на этой модели.

Получение эквивалентных схем технических объектов

 

При получении ММ достаточно сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:

выделить в объекте однородные физические подсистемы;

получить эквивалентные схемы каждой из подсистем;

установить связи между подсистемами;

получить математическую модель системы.

Задание на лабораторную работу

Провести исследование распределения температур по поверхности объекта в стационарном режиме (теплоемкости элементов не рассматриваются)

Оценить быстродействие программы анализа для различных методов вычисления температур.

Выбрать элемент конструкции радиатора охлаждения процессора по критерию наименьшего перегрева процессора.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Построение математической модели
по результатам эксперимента

Цель работы

 

Целью работы является изучение методики построения математической модели по результатам натурного исследования.

Основные понятия

 

На практике в производственных или лабораторных условиях встречаются процессы, характер протекания которых детерминированным образом зависит от определенных величин

x ₁, x ₂, …., x_n

Переменные х_1,. х_2, …, _.х_п обычно называют входными контролируемыми или независимыми переменными, и их возможные значения принадлежат некоторой области n -мерного пространства. Выходная переменная y в дальнейшем будет называться зависимой переменной, целевой величиной или выходом процесса, даже если она не обозначает буквально выход продукта. В общем случае можно сказать, что между независимыми переменными и выходом процесса y существует функциональная взаимосвязь y=y (x), где x= (х_1,. х_2, …, _.х_п) ^T — вектор значений независимых переменных. Зависимость на практике часто бывает не известна и тогда она находится путем обработки экспериментальных данных.

Так как всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математических моделей на основе экспериментальных данных необходимо использовать методы математической статистики.

Наиболее часто при решении этой задачи применяют метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет построить оптимальную, в определенном смысле, оценку моментов распределения ошибки эксперимента, а также решить вопрос о том, является ли полученная модель адекватной (т. е. соответ­ствует ли она действительности).

Пусть требуется на основе экспериментальных данных постро­ить модель некоторого процесса. При этом прежде всего необхо­димо составить себе какое-то представление о структуре этой модели. Из физических соображений можно, например, предпо­ложить, что взаимосвязь между у и х - линейна:

y (a,x) = a₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ +…+ a _n x _n (2.1)

При этом а_i являются неизвестными параметрами процесса, оценки которых требуется найти путем обработки экспериментальных данных. В случае, если характер связи описывается нелинейной квадратичной функцией, имеем

y (a,x) = a₀ + a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ +…+ a _n x _n +

+ a ₁₁ x ₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ x ₂ +…+ a ₃₃ x ₃ x ₃+…+ a _nn x _n x _n+

+ a ₁₂ x ₁ x ₂ + a ₁₂ x ₁ x ₂ +…+ a ₁₃ x ₁ x ₃+…+ a _1n x ₁ x _n +

+ a ₂₃ x ₂ x ₃+… + a _n-1n x _n-1 x _n

Здесь число неизвестных параметров определяется:

Обычно коэффициенты нелинейной квадратичной модели нумеруются не по порядку, а так, что коэффициент при функции x_ix_j обозначается через а_ij

Модели полиномиального вида имеют большое значение в связи с тем, что с их помощью любая аналитическая функция может быть описана как угодно точно. Однако, с увеличением степени полинома весьма существенно увеличивается число оце­ниваемых параметров модели и соответственно возрастают за­траты на эксперимент. Так, если степень полинома есть т, то число неизвестных параметров находится по формуле:

В дальнейшем будут использованы модели вида

y=y (x,a) (2.2)

где a ― вектор параметров модели, a= (a ₀, a ₁, …, a_k) ^T

Примем, что модель (2.2) линейна относительно коэффициентов а_i, т.е.

y (a,x)= a ₀ f ₀(x) + a ₁ f ₁(x) +…+ a_kf_k(x) (2.3)

При этом f_i (х) — известные функции, являющиеся компонентами вектора.

Используя векторные обозначения можно записать

y = a^Tf (x)= f ^T (x) a

В случае линейной или квадратичной модели выражения для компонент f (х ) будут иметь вид:

f (x)=(1, x ₁, x ₂, …, x_n) ^T

и f (x)=(1, x ₁, x ₂, …, x_n, x ₁ x ₁, x ₂ x ₂, x_nx_n,

x ₁ x ₂, x ₁ x ₃, x ₁ x_n, x ₂ x ₃,…, x_{n- 1} x_n) ^T

Эксперимент проводится в многомерном пространстве при условии N>k + 1где N ― число точек эксперимента, k ― число искомых параметров модели. Вектор переменных имеет вид

xⁱ =(x ₁ ⁱ, x ₁ ⁱ,…, x_nⁱ) ^T, i=1, 2,…, N.

 

По результатам эксперимента вычисляется матрица F

 

 

и матрица C

(2.5)

Матрица C называется дисперсионной матрицей.

Значения параметров модели a_i находятся как решение системы линейных уравнений

(2.6)

где Y - вектор результатов эксперимента.

Оценка дисперсии ошибок наблюдений вычисляется с помощью остаточной суммы квадратов

 

с числом степеней свободы φ = N – k ̶ 1

по формуле

Коэффициент a_i - считается значимо отличающимся от нуля, если

где t _кр—критическое значение распределения Стьюдента для заданного уровня значимости a и j степеней свободы (если оценка s_i² имеет j степеней свободы); t _крнаходится с помощью нижеприведенной таблицы из условия

Таблица для оценки значимости параметров модели

j	1- a
0,99	0,95	0,90	0,80	0,50	0,20
	63,657	12,706	6,314	3,078	0,727	0,325
	9,925	4,303	2.920	1,886	9,617	0,289
	5,841	3,182	2,353	1,638	0,584	0,277
	4,604	2,776	2,132	1,533	0,569	0,271
	4,032	2,571	2,015	1,476	0,559	0,367
	3,707	2,447	1,943	1,440	0,553	0,265
	3,499	2,365	1,895	1,415	0,549	0,263
	3,355	2,306	1,860	1,397	0,546	0,262
	3,250	2,262	1,833	1,383	0,543	0,261
	3,169	2,228	1,812	1,372	0,542	0,260
	3,106	2,201	1,796	1,363	0,540	0,260
	3,055	2,179	1,782	1,356	0,539	0,259
	3,012	2,160	1,771	1,350	0,538	0,259
	2,977	2,145	1,761	1,345	0,537	0,258
	2,947	2,131	1,753	1,341	0,536	0,258
	2,921	2,120	1,746	1,337	0,535	0,258
	2,898	2,110	1,740	1,333	0,534	0,257
	2,878	2,101	1,734	1,330	0,534	0,257
	2,861	2,093	1,729	1,328	0,533	0,257
	2,845	2,086	1,725	1,325	0,533	0,257
	2,831	2,080	1,721	1,323	0,532	0,257
	2,819	2,074	1,717	1,321	0,532	0,256
	2,807	2,069	1,714	1,319	0,532	0,256
	2,797	2,064	1,711	1,318	0,531	0,256
	2,787	2,060	1,708	1,316	0,531	0,256
	2,779	2,056	1,706	1.315	0,531	0,256
	2,771	2,052	1,703	1,314	0,531	0,256
	2,763	2,048	1,701	1,313	0,530	0,256
	2,756	2,045	1,699	1,311	0,530	0,256
	2,750	2,042	1,697	1,310	0,530	0,256
	2,704	2,021	1,684	1,303	0,529	0,255
	2,660	2,000	1,671	1,296	0,527	0,254
	2,617	1,980	1,658	1,289	0,526	0,254
	2,576	1,960	1,645	1,282	0,524	0,253

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

Автоматических систем

Цель работы

Целями предлагаемой лабораторной работы является моделирование различных временных процессов в устройствах автоматических систем и получение практических навыков в использовании методов анализа процессов с помощью решения дифференциальных уравнений численными методами.

Задание на лабораторную работу

 

Индивидуальные варианты для выполнения лабораторной работы приведены на листе «Задания». Ввести свой номер варианта в окно «Вариант» на листе «Исходные данные»

В соответствии с вариантом задания подготовить аналитическое решение дифференциального уравнения для дальнейшей оценки погрешности численных методов. Решение дифференциального уравнения (4.2) для начальных условий имеет вид:

,

где ,

Вариант решения уравнения приведен на рис. 4.2.

 

Рис. 4.2 Аналитическое решение дифференциального

уравнения

 

Последовательно для различных численных методов составить алгоритмы численного решения дифференциального уравнения в соответствии с формулами. Используя средства таблиц Microsoft Excel или VBA Microsoft Excel, подготовить процедуры решения. Вычислить по разработанным процедурам значения u₂(t). Построить таблицы решения и графики. Сравнить результаты с аналитическим решением.

 

Библиографический указатель

 

1. Трудоношин В.А., Пивоврова Н.В. Математические модели технических объектов. М.: Высш. шк., 1986. – 160с.

2. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / К. Хартман и др. – М.: Мир, 1977 –552с.

3. Хемминг Р.В. Численные методы – М.: Наука, 1972 –552с.

4. Андре Анго, Математика для электро- и радиоинженеров

– М.: Наука, 1964 –772с.

5. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта.

– М.: Наука, 1970 –432с.

 

 

Российской федерации

 

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
“Московский государственный институт
радиотехники, электроники и автоматики

(технический университет)”

 

Подлежит возврату

№ 0000

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

 

Лабораторные работы №№ 1, 2, 3, 4

 

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

 

 

Для студентов специальности 220201

 

МОСКВА 2011

Составители: А.В. Алешин

В.В. Болдов

Редактор А.В. Кочемасов

 

Методические указания содержат руководство для выполнения лабораторных работ по курсу "Моделирование систем".

Материал предназначен для студентов 4 курса дневного отделения факультета "Кибернетика" специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Методические указания содержат описание и порядок выполнения лабораторных работ, в которых изучаются методы построения и использования математических моделей при анализе и проектировании технических систем.

 

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.