Основные положения получения математической модели

Поведение большинства технических подсистем можно охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в математической модели технической системы. Так, в электрической подсистеме фазовыми переменными являются токи и напряжения, в механической поступательной подсистеме — силы и скорости.

Математическую модель системы получают объединением компонентных и топологических уравнений.

Законы функционирования элемента подсистемы (в дальнейшем — просто элемента) задаются компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разнородные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу, т. е. компонентные уравнения связывают переменные типа потока с переменными типа потенциала.

Компонентные уравнения могут быть линейными или нелинейными, алгебраическими, обыкновенными диффе­ренциальными или интегральными. Эти уравнения по­лучаются на основе знаний о конкретной предметной области. Для каждого элемента моделируемого технического объекта должны быть получены компонентные уравнения. Это может оказаться длительной и трудоемкой процедурой. Но эта процедура выполняется однократно с одновременным накоплением библиотеки подпрограмм моделей элементов. Для большинства элементов такие компонентные уравнения уже получены в прикладных дисциплинах. Ими можно воспользоваться при моделировании в САПР.

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задается топологическими уравнениями, получаемыми на основе сведений о структуре подсистемы. Для формирования топологических уравнений разработаны формальные методы. Очевидно, что процедура получения топологических уравнений выполняется для каждого моделируемого объекта, так как структуры объектов различны.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R — элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление потенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных может быть получена математическая модель технического объекта практически любой сложности. Рассмотрим основные физические подсистемы с точки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако, для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

Электрическая подсистема. Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряже­ния U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) I=U/R,
где R — электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости I=C(dU/dt), где С — электри­ческая емкость.

B. Уравнение индуктивности U=L(dI/dt), где L —
электрическая индуктивность.

Тепловая подсистема. Фазовые переменные этой под­системы — тепловые потоки Ф и температура Т — соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Из соответствующих уравнений законов Фурье и Ньютона для теплопроводности и конвекции y = l (Т₁ - Т₂)/ l и

y =a_конв (Т ₁ - Т ₂), где y — плотность теплового потока;

l — коэффициент теплопроводности; a_конв — коэффициент теплообмена через конвекцию; Т ₁и Т ₂ — температура на границах рассматриваемого участка длиной I для индуктивного теплообмена и Т ₁— температура те­ла; Т ₂— температура окружающей среды для конвективного теплообмена.

Для получения теплового потока умножим обе части уравнений на площадь S поперечного сечения выделен­ного участка, т. е.

Ф =(l S / l) T или Ф = T/R _конд; Ф =S a _конв T или Ф = Т/R _конд,

где R _конд =l/(lS) — кондукционное сопротивление;

R _конв =1/(Sa _конв) — конвекционное сопротивление.

Б. Уравнение теплоемкости тела C_T=dQ/dT, где dQ —изменение количества теплоты в теле при изменении температуры на dT.

Так как изменение количества теплоты в единицу вре­мени есть тепловой поток, то dQ/dt = Ф = C_T(dTldt),

где С_Т=ст — аналог электрической емкости; с — удельная теплоемкость; т — масса тела.

В. В том случае, когда фазовыми переменными явля­ются тепловой поток и температура, компонентное уравнение, соответствующее тепловой индуктивности, не имеет физического смысла.

Топологические уравнения в большинстве физических подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Рассмотрим аналогии топологических уравнений в различных физических подсистемах по отношению к электрической подсистеме.

Электрическая подсистема. Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа.

Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т.е.

(уравнение равновесия),

 

где I_k — ток к-й ветви; р — множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгофа видно, что сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равна нулю, т. е. (уравнение непрерывности),

где j —номер ветви; U_j — падение напряжения

на j -й ветви схемы, входящей в контур; q здесь и далее — множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Тепловая подсистема. Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т.е.

— сумма тепловых потоков в узлах подсистемы

равна нулю, где Ф_j — тепловой поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение непрерывности, т. е. — сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю, где T_j — разность температур на участке, входящем в контур.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии переменных типа потока и типа потенциала. Эти аналогии и аналогии на уровне простейших элементов сведены в табл.

 

Подсистема	Фазовые переменные	Компоненты
типа поток	типа потенциал	типа R	типа С	типа L
Электрическая	Ток	Напряжение	Сопротивление	Емкость	Индуктивность
Тепловая	Тепловой поток	Температура	Тепловое сопротивление	Тепло емкость	—

 

Аналогия рассматривалась по отношению к электрической подсистеме, но это не принципиально; в качестве исходной могла быть выбрана любая другая подсистема (кроме тепловой).