Рівняння, що не розв’язні відносно похідної. Рівняння Лагранжа та Клеро.

церівняння, що не розв’язні відносно похідної. Перше, що треба зробити – це постар. розв р-ня відн. похідн. припустимо, що це вдалося зробити і при цьому одерж. такі р-ня: слід розв. кожне з k р-нь окремо. при цьому об’єднання заг. розв. цих р-нь, або їх загал. інтегр. назив. загальн. інтегралом. р-ня (1).

Зауваження. Під особливою точкою площини розуміють точку через яку проходять хоча б 2 інтегральні криві різних рівнянь (2) дотичні до яких в цій точці різні.

Р-ня Лагранжа

при цьому ф-ї вваж. непер. дифер. Шукаємо розв’язок цього рівняння у параметричній формі, тобто виразимо х та у через параметр. Позначимо залишається виразити х через параметр p. Ост. р-ть диф. по х.

. ; Одерж. лінійне неоднорідне рівняння.

 

Припустимо Тоді ф-я - є також розвязок р-ня Лагранжа.

Р-ня Клеро

Якщо має місце то р-ня Лагр. набир. вигл. ост. р-ть наз. р-ням Клеро. це частк. вип. р-ня Лагр.

1.

ост. р-тю визн. сім’я розв’язків р-ня, яку називають загальним розв’язком р-ня Клеро.

2. Прийнято назив заг розв. р-ня Клеро, а розв. його особл. Розв-м. є однор. сім’я кривих. Запиш. р-ня, які визн. її дискр. криву. перех. до р-ті. , де замість р поставлено с. особлив. розв. р-ня Клеро визн. дискримінантну. криву сім’ї прямих.

 

Лінійні рівняння n-го порядку. Фундаментальна системи розв. однор. р-ня. Детермінант Вронського. Загал. розв.

Озн. Розглянемо оператор

Де -ф-я неперервна на y(x) – диф. до n-го порядку ф-я. Рівняння - визн. на (a,b) Називають відпов. однорідн. та неоднор. лін р-ням n-го порядку.

Очевидно, що опер. L[y] є лінійн. Це легко перевірити.

Заув. Якщо ф-я y₁(x), y₂(x),…, y_k(x) є розв. р-ня (1) то їх лін. комб. теж є розв. цього р-ня.

Озн. Множина ф-цій y₁(x), y₂(x),…, y_k(x)(3) назив. лінійно залежн. на серед яких хоча б 1 відм. від нуля такі, що ,у протил. вип. ця ф-я назив. лін. незалежною.

Озн. Множину (3) розв’язків р-ня 1 називається її фундаментальною системою розв’язків якщо вона є лінійно-незалежною на проміжку .

– називають детермінант Вронського с-ми ф-цій (3).

Заув. З лінійної залежності функцій (3) випливоє що

Т. Якщо сист-ма розв. (3) в р-ні (1) лін. незал. на (a,b), то в кожній точці цього відр. її детерм. Врон. не дорівн. 0.

Д. Прип. супротивне, що

(4)

Ця с-ма є однррідна. алгебр. сист. детерм. цієї с-ми співп. з .

У цьому випадку вказана система має не нулеві розвязки оберемо один із них . Розглянемо ф-цію Легко бачити, що ф-я є розв. р-ня (1). С-ма розв. рівняння виду (1) має розв’язок y=0.

Похідн. від ф-ї є лін. залежн., що супер. умові теореми.

Т.ч. такої т. x₀ Отже,мн розв є лін залежн,а отже,не є фср.А це суперечить умові,яка і довод теорему.

Н. фундам. с-ма розв. і їх є неск. багато.

Т. роз-к р-ня (1) є лінійною комб. з його фунд. с-ми розв.

Н. Заг. розв. р-ня (1) можна зобр. у вигл. де - утвор. фунд. сист розв.(3), -довільні сталі.

А загал розв неоднор сист – у_з.н.=у_чн+у_зо,де у_чн=у_1чн+у_чо.