Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші



Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші

Рівняння виду – р-ня 1-го порядку. Будем вваж., що його можн. розв. відн. похідної. (1)- ф-я визн. в обл. з пр-ру R2

Озн. Ф-ю назив. розв. р-ня (1) на. (a,b)⊂R2. Якщо на ньому вона диф. причому .

Прип. що для точки існ. розв. р-ня(1) , і що. .Числа х00 наз початков.значен,а умову початк умовою..Довед. єдність цього розв. Прип. що ще розв’язок р-ня (1) визнач. на інтервалі , що . Якщо на то говорять, що розв. за знач. x0, y0 єдиний.

Озн. Розвязок називається частк. розв. р-ня(1). Ф-ю , де c-числовий параметр наз. загальн. розв. р-ня (1), якщо будь-який його част. розв. одерж. від заг. при деякому частк. знач. Параметра с.

Озн. Р-ть. називають частковим інтегралом р-ня (1) якщо вона неявн. визн. част. розв. цього р-ня. Загальн. інтегр. р-ня (1) назив. співвідн. яке визн. неявно заг. розв. р-ня(1).Графіек розв р-ня наз інтегральною кривою.Точку(х00) наз.особливою для р-ня(1),якщо через неї проходить більше однієї інтегр.кривої.

Озн. Розв р-ня(1),який визнач інтегр криву,що складається лише з особливих точок,наз.особливим розв.

Т.Пеано Якщо ф-я f(x,y)неп на Г за сукупність змінних,то для будь-якої т(х00)з Г існує розв. р-ня(1)з початк знач.х00., , що = у0

Задача Коші.

1. знайти частк. розв. р-ня (1) який визнач. початковою умовою . 2. вияснити чи він єдиний.

Т.Пікара нехай виконуються умови т.Пеано, і до того ж задовольняє умови Ліпшеца відносно у тобто для (х,у) є Г виконується нерівність , тоді розвязок про який йде мова в теоремі Пеано єдиний.

Дов. Зведемо розв’язання задачі Коші до відшукання розв’язку деякого інтегрального рівняння , х00 є Г . Розглянемо інтегральне рівняння (2). Надалі будем шукати розвязок р-ня (2) він і є розв’язком поставленої задачі Коші.

Нехай множина G містить в собі точку (х00) і є замкненою GсГ, тоді функція обмежена на множині G оскільки вона на ній неперервна, це значить, що існує таке число k, що , (х,у)є G. Підберемо число h таким чином, щоб кожна точка (х,у) для якої і крім того, щоб було строго менше 1. позначимо Н. . Р

Розглянемо множину елементами якої є неперервні функції від х виду , які мають таку властивість при при хєН . Очевидно, що с Сн. З мат. аналізу відомо, що Сн є повним метричним простором в якому відстань задається формулою . Оскільки є підмножиною Сн то ця множина утворює повний метричний простір з цією відстаню при умові, що ця множина замкнена. Покажемо, що - замкнена. Для цього досить показати, що вона містить всі свої граничні точки. Припустимо, що є граничною точкою . Тоді в множині . Це значить,що nєN . В останній рівності перейдемо до границі. , тому . Отже множина

Означимо відображення А, що діє на елементи простору таким чином , покажемо, що це відображення є відображенням стиску, що А: . Крім того /

Нехай тоді . За означенням стискаючого оператора робимо висновок, що А- є оператором стиску. Оскільки він діє в повному метричному просторі то для нього існує нерухома точка , а це значить = , а це значить , отже є розв’язком рівняння (2), а тому розв’язком поставленої задачі Коші.

Р-ня Лагранжа

при цьому ф-ї вваж. непер. дифер. Шукаємо розв’язок цього рівняння у параметричній формі, тобто виразимо х та у через параметр. Позначимо залишається виразити х через параметр p. Ост. р-ть диф. по х.

. ; Одерж. лінійне неоднорідне рівняння.

 

Припустимо Тоді ф-я - є також розвязок р-ня Лагранжа.

Р-ня Клеро

Якщо має місце то р-ня Лагр. набир. вигл. ост. р-ть наз. р-ням Клеро. це частк. вип. р-ня Лагр.

1.

ост. р-тю визн. сім’я розв’язків р-ня, яку називають загальним розв’язком р-ня Клеро.

2. Прийнято назив заг розв. р-ня Клеро, а розв. його особл. Розв-м. є однор. сім’я кривих. Запиш. р-ня, які визн. її дискр. криву. перех. до р-ті. , де замість р поставлено с. особлив. розв. р-ня Клеро визн. дискримінантну. криву сім’ї прямих.


 

Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші

Рівняння виду – р-ня 1-го порядку. Будем вваж., що його можн. розв. відн. похідної. (1)- ф-я визн. в обл. з пр-ру R2

Озн. Ф-ю назив. розв. р-ня (1) на. (a,b)⊂R2. Якщо на ньому вона диф. причому .

Прип. що для точки існ. розв. р-ня(1) , і що. .Числа х00 наз початков.значен,а умову початк умовою..Довед. єдність цього розв. Прип. що ще розв’язок р-ня (1) визнач. на інтервалі , що . Якщо на то говорять, що розв. за знач. x0, y0 єдиний.

Озн. Розвязок називається частк. розв. р-ня(1). Ф-ю , де c-числовий параметр наз. загальн. розв. р-ня (1), якщо будь-який його част. розв. одерж. від заг. при деякому частк. знач. Параметра с.

Озн. Р-ть. називають частковим інтегралом р-ня (1) якщо вона неявн. визн. част. розв. цього р-ня. Загальн. інтегр. р-ня (1) назив. співвідн. яке визн. неявно заг. розв. р-ня(1).Графіек розв р-ня наз інтегральною кривою.Точку(х00) наз.особливою для р-ня(1),якщо через неї проходить більше однієї інтегр.кривої.

Озн. Розв р-ня(1),який визнач інтегр криву,що складається лише з особливих точок,наз.особливим розв.

Т.Пеано Якщо ф-я f(x,y)неп на Г за сукупність змінних,то для будь-якої т(х00)з Г існує розв. р-ня(1)з початк знач.х00., , що = у0

Задача Коші.

1. знайти частк. розв. р-ня (1) який визнач. початковою умовою . 2. вияснити чи він єдиний.

Т.Пікара нехай виконуються умови т.Пеано, і до того ж задовольняє умови Ліпшеца відносно у тобто для (х,у) є Г виконується нерівність , тоді розвязок про який йде мова в теоремі Пеано єдиний.

Дов. Зведемо розв’язання задачі Коші до відшукання розв’язку деякого інтегрального рівняння , х00 є Г . Розглянемо інтегральне рівняння (2). Надалі будем шукати розвязок р-ня (2) він і є розв’язком поставленої задачі Коші.

Нехай множина G містить в собі точку (х00) і є замкненою GсГ, тоді функція обмежена на множині G оскільки вона на ній неперервна, це значить, що існує таке число k, що , (х,у)є G. Підберемо число h таким чином, щоб кожна точка (х,у) для якої і крім того, щоб було строго менше 1. позначимо Н. . Р

Розглянемо множину елементами якої є неперервні функції від х виду , які мають таку властивість при при хєН . Очевидно, що с Сн. З мат. аналізу відомо, що Сн є повним метричним простором в якому відстань задається формулою . Оскільки є підмножиною Сн то ця множина утворює повний метричний простір з цією відстаню при умові, що ця множина замкнена. Покажемо, що - замкнена. Для цього досить показати, що вона містить всі свої граничні точки. Припустимо, що є граничною точкою . Тоді в множині . Це значить,що nєN . В останній рівності перейдемо до границі. , тому . Отже множина

Означимо відображення А, що діє на елементи простору таким чином , покажемо, що це відображення є відображенням стиску, що А: . Крім того /

Нехай тоді . За означенням стискаючого оператора робимо висновок, що А- є оператором стиску. Оскільки він діє в повному метричному просторі то для нього існує нерухома точка , а це значить = , а це значить , отже є розв’язком рівняння (2), а тому розв’язком поставленої задачі Коші.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 388; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.201.122.150 (0.022 с.)