Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теореми про існування та єдність розв’язків задачі КошіСтр 1 из 3Следующая ⇒
Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші Рівняння виду – р-ня 1-го порядку. Будем вваж., що його можн. розв. відн. похідної. (1)- ф-я визн. в обл. з пр-ру R2 Озн. Ф-ю назив. розв. р-ня (1) на. (a,b)⊂R2. Якщо на ньому вона диф. причому . Прип. що для точки існ. розв. р-ня(1) , і що. .Числа х0,у0 наз початков.значен,а умову початк умовою..Довед. єдність цього розв. Прип. що ще розв’язок р-ня (1) визнач. на інтервалі , що . Якщо на то говорять, що розв. за знач. x0, y0 єдиний. Озн. Розвязок називається частк. розв. р-ня(1). Ф-ю , де c-числовий параметр наз. загальн. розв. р-ня (1), якщо будь-який його част. розв. одерж. від заг. при деякому частк. знач. Параметра с. Озн. Р-ть. називають частковим інтегралом р-ня (1) якщо вона неявн. визн. част. розв. цього р-ня. Загальн. інтегр. р-ня (1) назив. співвідн. яке визн. неявно заг. розв. р-ня(1).Графіек розв р-ня наз інтегральною кривою.Точку(х0,у0) наз.особливою для р-ня(1),якщо через неї проходить більше однієї інтегр.кривої. Озн. Розв р-ня(1),який визнач інтегр криву,що складається лише з особливих точок,наз.особливим розв. Т.Пеано Якщо ф-я f(x,y)неп на Г за сукупність змінних,то для будь-якої т(х0,у0)з Г існує розв. р-ня(1)з початк знач.х0,у0., , що = у0 Задача Коші. 1. знайти частк. розв. р-ня (1) який визнач. початковою умовою . 2. вияснити чи він єдиний. Т.Пікара нехай виконуються умови т.Пеано, і до того ж задовольняє умови Ліпшеца відносно у тобто для (х,у) є Г виконується нерівність , тоді розвязок про який йде мова в теоремі Пеано єдиний. Дов. Зведемо розв’язання задачі Коші до відшукання розв’язку деякого інтегрального рівняння , х0,у0 є Г . Розглянемо інтегральне рівняння (2). Надалі будем шукати розвязок р-ня (2) він і є розв’язком поставленої задачі Коші. Нехай множина G містить в собі точку (х0,у0) і є замкненою GсГ, тоді функція обмежена на множині G оскільки вона на ній неперервна, це значить, що існує таке число k, що , (х,у)є G. Підберемо число h таким чином, щоб кожна точка (х,у) для якої і крім того, щоб було строго менше 1. позначимо Н. . Р Розглянемо множину елементами якої є неперервні функції від х виду , які мають таку властивість при при хєН . Очевидно, що с Сн. З мат. аналізу відомо, що Сн є повним метричним простором в якому відстань задається формулою . Оскільки є підмножиною Сн то ця множина утворює повний метричний простір з цією відстаню при умові, що ця множина замкнена. Покажемо, що - замкнена. Для цього досить показати, що вона містить всі свої граничні точки. Припустимо, що є граничною точкою . Тоді в множині . Це значить,що nєN . В останній рівності перейдемо до границі. , тому . Отже множина
Означимо відображення А, що діє на елементи простору таким чином , покажемо, що це відображення є відображенням стиску, що А: . Крім того / Нехай тоді . За означенням стискаючого оператора робимо висновок, що А- є оператором стиску. Оскільки він діє в повному метричному просторі то для нього існує нерухома точка , а це значить = , а це значить , отже є розв’язком рівняння (2), а тому розв’язком поставленої задачі Коші. Р-ня Лагранжа при цьому ф-ї вваж. непер. дифер. Шукаємо розв’язок цього рівняння у параметричній формі, тобто виразимо х та у через параметр. Позначимо залишається виразити х через параметр p. Ост. р-ть диф. по х. . ; Одерж. лінійне неоднорідне рівняння.
Припустимо Тоді ф-я - є також розвязок р-ня Лагранжа. Р-ня Клеро Якщо має місце то р-ня Лагр. набир. вигл. ост. р-ть наз. р-ням Клеро. це частк. вип. р-ня Лагр. 1. ост. р-тю визн. сім’я розв’язків р-ня, яку називають загальним розв’язком р-ня Клеро. 2. Прийнято назив заг розв. р-ня Клеро, а розв. його особл. Розв-м. є однор. сім’я кривих. Запиш. р-ня, які визн. її дискр. криву. перех. до р-ті. , де замість р поставлено с. особлив. розв. р-ня Клеро визн. дискримінантну. криву сім’ї прямих.
Теореми про існування та єдність розв’язків задачі Коші Рівняння виду – р-ня 1-го порядку. Будем вваж., що його можн. розв. відн. похідної. (1)- ф-я визн. в обл. з пр-ру R2 Озн. Ф-ю назив. розв. р-ня (1) на. (a,b)⊂R2. Якщо на ньому вона диф. причому . Прип. що для точки існ. розв. р-ня(1) , і що. .Числа х0,у0 наз початков.значен,а умову початк умовою..Довед. єдність цього розв. Прип. що ще розв’язок р-ня (1) визнач. на інтервалі , що . Якщо на то говорять, що розв. за знач. x0, y0 єдиний. Озн. Розвязок називається частк. розв. р-ня(1). Ф-ю , де c-числовий параметр наз. загальн. розв. р-ня (1), якщо будь-який його част. розв. одерж. від заг. при деякому частк. знач. Параметра с.
Озн. Р-ть. називають частковим інтегралом р-ня (1) якщо вона неявн. визн. част. розв. цього р-ня. Загальн. інтегр. р-ня (1) назив. співвідн. яке визн. неявно заг. розв. р-ня(1).Графіек розв р-ня наз інтегральною кривою.Точку(х0,у0) наз.особливою для р-ня(1),якщо через неї проходить більше однієї інтегр.кривої. Озн. Розв р-ня(1),який визнач інтегр криву,що складається лише з особливих точок,наз.особливим розв. Т.Пеано Якщо ф-я f(x,y)неп на Г за сукупність змінних,то для будь-якої т(х0,у0)з Г існує розв. р-ня(1)з початк знач.х0,у0., , що = у0 Задача Коші. 1. знайти частк. розв. р-ня (1) який визнач. початковою умовою . 2. вияснити чи він єдиний. Т.Пікара нехай виконуються умови т.Пеано, і до того ж задовольняє умови Ліпшеца відносно у тобто для (х,у) є Г виконується нерівність , тоді розвязок про який йде мова в теоремі Пеано єдиний. Дов. Зведемо розв’язання задачі Коші до відшукання розв’язку деякого інтегрального рівняння , х0,у0 є Г . Розглянемо інтегральне рівняння (2). Надалі будем шукати розвязок р-ня (2) він і є розв’язком поставленої задачі Коші. Нехай множина G містить в собі точку (х0,у0) і є замкненою GсГ, тоді функція обмежена на множині G оскільки вона на ній неперервна, це значить, що існує таке число k, що , (х,у)є G. Підберемо число h таким чином, щоб кожна точка (х,у) для якої і крім того, щоб було строго менше 1. позначимо Н. . Р Розглянемо множину елементами якої є неперервні функції від х виду , які мають таку властивість при при хєН . Очевидно, що с Сн. З мат. аналізу відомо, що Сн є повним метричним простором в якому відстань задається формулою . Оскільки є підмножиною Сн то ця множина утворює повний метричний простір з цією відстаню при умові, що ця множина замкнена. Покажемо, що - замкнена. Для цього досить показати, що вона містить всі свої граничні точки. Припустимо, що є граничною точкою . Тоді в множині . Це значить,що nєN . В останній рівності перейдемо до границі. , тому . Отже множина Означимо відображення А, що діє на елементи простору таким чином , покажемо, що це відображення є відображенням стиску, що А: . Крім того / Нехай тоді . За означенням стискаючого оператора робимо висновок, що А- є оператором стиску. Оскільки він діє в повному метричному просторі то для нього існує нерухома точка , а це значить = , а це значить , отже є розв’язком рівняння (2), а тому розв’язком поставленої задачі Коші.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 388; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.201.122.150 (0.022 с.) |