Д. У. Движения МТ. Первая и вторая задачи динамики точки.

Д.У. движения МТ. Первая и вторая задачи динамики точки.

Положение МТ в инерциальной с.о. будем определять ее радиус-вектором r. Сила F, действующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е. от r, скорости и времени t. Следовательно, в общем случае и основное уравнение динамики mw=F точки можно записать в следующей форме:

– дифференциальное ур-е дв-я в векторной форме (r-функция, t-аргумент).

В зависимости от выбора осей координат, на к-рые проектируется осн.ур-е динамики можно получить разл. формы скалярных д.у. дв-я МТ. В декарт.сис-ме:

В случае плоского дв-я точки, рассматр. в полярных координатах, имеет вид

, где F_r и F_f – проекции силы на напр-е радиус-вектора и перпендикулярное к нему напр-е. Аналогично можно получить записи д.у. в др.сис-мах координат.

С помощью осн.ур-я динамики решаются 2 осн.задачи динамики:

1) Когда дв-е задано, известна масса, необходимо найти силу, под действием которой происходит дв-е. Решение: закон движения подставляется в д.у. и с помощью дифференцирования соотв.функций определяются проекции силы;

2) Когда по известным приложенным силам и массе находят закон движения МТ.

Решение: осн.ур-е динамики необходимо проинтегрировать дважды (сила зависит от времени, от скорости, пропорциональна координате)

Полная работа. Полная работа силы тяжести и упругости.

Полная работа – работа внешних и внутренних сил, приложенных к МС: А=А^е+Аⁱ

Работа сил тяжести. Если МС находится в однородном поле тяжести, то на каждую ее точку М_k действует внешняя сила . Тогда элементарная работа внешних сил будет равна (OZ). Сумма элементарных работ всех сил тяжести равна: или . Тогда полная работа всей системы при переходи из 1 положения во второе = весу всей систем, умноженному на вертикальное перемещение ее центра тяжести.

Работа силы упругости. Рассмотрим силы упругой пружины, коэф.жестк.С. вычислим работу при растяжении пружины на длину f из нерастянутого состояния. . Полная работа сил упругости будет равна – пропорциональна квадрату перемещения.

Как и в случае для силы тяжести, работа сил упругости не зависит от траектории.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Найдем связь между работой сил, приложенных к МТ, изменением скорости точки. Для этого воспользуемся основным уравнением динамики. ; умножим обе части на dr: . В правой части стоит элементарная работа; левую часть можно представить:

- изменение кинетической энергии МТ на каком-либо ее перемещении = сумме работ всех сил, действующих на МТ на том же перемещении.

Теорема Штейнера-Гюйгенса.

Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Эта связь устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними .

Общее уравнение динамики.

- при движении МС с идеальными и удерживающими связями работа всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
Если связи стационарны, то общее уравнение динамики представляет собой следствие принципа виртуальных перемещений и принцип Даламбера.

Д.У. движения МТ. Первая и вторая задачи динамики точки.

Положение МТ в инерциальной с.о. будем определять ее радиус-вектором r. Сила F, действующая на точку, может зависеть от положения точки, т. е. от r, скорости и времени t. Следовательно, в общем случае и основное уравнение динамики mw=F точки можно записать в следующей форме:

– дифференциальное ур-е дв-я в векторной форме (r-функция, t-аргумент).

В зависимости от выбора осей координат, на к-рые проектируется осн.ур-е динамики можно получить разл. формы скалярных д.у. дв-я МТ. В декарт.сис-ме:

В случае плоского дв-я точки, рассматр. в полярных координатах, имеет вид

, где F_r и F_f – проекции силы на напр-е радиус-вектора и перпендикулярное к нему напр-е. Аналогично можно получить записи д.у. в др.сис-мах координат.

С помощью осн.ур-я динамики решаются 2 осн.задачи динамики:

1) Когда дв-е задано, известна масса, необходимо найти силу, под действием которой происходит дв-е. Решение: закон движения подставляется в д.у. и с помощью дифференцирования соотв.функций определяются проекции силы;

2) Когда по известным приложенным силам и массе находят закон движения МТ.

Решение: осн.ур-е динамики необходимо проинтегрировать дважды (сила зависит от времени, от скорости, пропорциональна координате)