Интерполяторы. Типы интерполяторов.

20.Аппроксимация нелинейных участков траектории рабочего органа.

1 4 5

2 3 6

I (U) =aU^n

0 U 0 U

I I

a) б)

Рис. 212

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов на практике чаще всего получают экспериментальным путем и представляют их или в графиче­ской форме [в виде графической диаграммы функции ], или в таблич­ной форме [в виде таблицы координат точек функции ]. При аналити­ческих методах расчета нелинейных цепей к ВАХ предъявляются требования, чтобы они были представлены в аналитической форме, т.е. в виде аналитиче­ского выражения.Под аппроксимацией ВАХ понимают замену ее графической или таблич­ной формы на аналитическую. К уравнению аппроксимации предъявляются два противоречивых требования. Во-первых, уравнение аппроксимации должно по возможности точно описывать заданную ВАХ. Для более полного выполнения этого требования необходимо усложнять структуру этого уравнения. Во-вто­рых, уравнение аппроксимации, будучи введенным в систему уравнений Кирх­гофа, должно позволять решение этой системы доступными методами. Для вы­полнения этого требования структура этого уравнения должна быть по возмож­ности более простой. Таким образом, при выборе уравнения аппроксимации всегда приходится принимать компромиссное решение между этими двумя тре­бованиями.Различают два способа аппроксимации нелинейных ВАХ – полная и ку­сочная (по частям).В простейших случаях при монотонном характере изменения функции I (U) ВАХ может быть аппроксимирована полностью одним нелинейным урав­нением (рис. 212а).

 

В более сложных случаях, когда функция I (U) имеет несколько максиму­мов и минимумов, полная аппроксимация ВАХ одним уравнением становится проблематичной и нерациональной. В таких случаях применяют кусочную ап­проксимацию. Суть ее состоит в том, что вся ВАХ разбивается по тому или дру­гому принципу на отдельные участки (куски) (рис. 212б). Отдельные участки ап­проксимируются однотипными, но простыми по структуре, уравнениями, коэф­фициенты в которых изменяются при переходе от одного участка к другому. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются отрезками прямой , то такая аппроксимация получила название кусочно-линейной. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются квадратичной () или кубической () параболой, то отдельные участки получили название сплайнов, а сама аппроксимация – аппроксимации сплайнами. Кусочная ап­проксимация позволяет получить высокую степень приближения к заданной ВАХ, однако требует большого числа однотипных расчетов при определении коэффициентов в уравнениях аппроксимации.

Кусочная аппроксимация широко применяется при расчете нелинейных цепей на ЭВМ.

 

 

21.Линейный интерполятор по методу оценочной функции (МОФ). Пример. Уравнение отрезка прямой, производимой системой ЧПУ, можно записать в виде. Где xi,

yi –точки, лежащие на прямой, а Δx, Δy - приращения

x_i Δy= y_iΔx

x_i Δy- y_iΔx=0

Если это уравнение приравнять к некоторой функции, то получим:

 

F=x_i Δy- y_iΔx, из этого уравнения видно, что если функция равно 0, то точка расположена на прямой, если функция больше 0, то точка над прямой, если функция меньше 0, то точка под прямой. Таким образом, оценка функции по уравнению позволяет разработать алгоритм оценочной функции, при котором с определенной частотой анализируется знак оценочной функции.

В зависимости от знака выдается единичное приращение по соотв. Координате, масштаб приращения по каждой координате принимается равным дискретности шага этой координате F=y_iΔx -x_i Δy.

Начало производимого участка совмещается с началом координат и определив знак оценочной функции, выдается шаг по координате x (F>=0) или по координате y (F<0), после чего вновь определяется знак оценочной функции и делается приращение по соотв. Координате. Этот процесс по вторяется до тех пор, пока значение координат и будет соотв. конечной точке участка прямой.

 

F_i+1=Fi+Δx- выражение для оц. Функции в случае

единичного шага по х

 

- АЛГОРИТМ

 

 

Пример – расчет траектории движения рабочего органа по методу оц функции, управляющие импульсы по большей координате выдаются в каждый интервал времени, а импульсы по меньшей координате – в зависимости от значения оценочной функции.

 

 

Модифицированный алгоритм линейной интерполяции по МОФ Пример..

 

Усовершенствованный метод оценочной функции позволяет повысить скорость отработки перемещения, которая в случае траектории под углом 45° может быть повышена в 2 раза. Минимальная скорость подачи определяется по выражению: v_мин=h/Tн

h – единичный шаг, определяемый дискретностью системы, Tн – время реализации алгоритма подачи. Требуемая частота импульсов определяется скоростью подачи и углом наклона к осям.

Погрешность расчета траектории по данному методу не превышает дискретности системы ЧПУ

 

23.Круговая интерполяция по методу оценочной функции. Пример. Применение оценочной функции для круговой интерполяции производится тем же способом, что и для линейной.

Xi²+yi²=R²

Fi= xi²+yi^2-R²

 

Знак оценочной функции определяет операцию управления на следующем шаге. Для интерполяции по дуге окружности необходимо знать центр квадранта, координаты начальной и конечной точек, а также радиус дуги окружности. Для воспроизведения дуги окружноcти в 1-м квадранте.

F>0 x_i+1=x_i-1 y_i+1=y

 

Если оценочная функция больше 0, то делается шаг по координате х (по у неизменна)

F>0 x_i+1=x_iy_i+1=y+1

После очередного шага осуществляется сравнение текущих координат с конечными и если они не совпадают, то алгоритм повторяется.

Определим оценочную функцию после следующего шага по координате х.

F_i+1=(x_i-1)²+yi²-R²=Fi-2x+1

Определим оценочную функцию после следующего шага по координате y.

Y_i+1=y+1 x_i+1=x

Fi+1=x_i²+(yi+1)²-R²=Fi+2y_i+1

24.Модифицированный алгоритм круговой интерполяции по МОФ. Пример. для повышения контурной скорости можно усовершенствовать алгоритм круговой интерполяции.

усовершенствование алгоритма закл в том что как и при линейн. интерполяции по ведущей коорд-те приращения выдаются на каждом шаге.отличие от линейн интерполяции в данн случае закл в следующем:если участок интерполяции в пределах одного квадранта охватывает угол ,то ведущая координата меняется и это изменение происходит при .

 

Введём обозначения и для определения ведущей координаты вычислим разность тогда получим что -ведущая координата при ()<0, -ведущая координата при ()>0. Рассматривая воспроизведение дуги окружности против часовой стрелки в первом квадранте при выдаче шагов одновременно по двум координатам, получим: ,Таким образом, при и движении в пределах выдача шагов производится по обеим координатам а при -только по ведущей координате т е .при и выдача шагов производится по обеим координатам при -только по ведущей коорд-те т е .из рисунка видно что при модифицированном алгоритме круговой интерпол-ии по МОФ затрачивается меньше шагов это приводит к увеличению контурной скорости отработки траектории.

 

25.Интерполяция на основе цифровых дифференциальных анализаторов пример Интерполяция с использов.ЦДА заключается в моделировании дифуравнений воспроизв.траектории с помощью специальных вычислительных устройств,называемых дифференциальными анализаторами.В данном методе в отличии метода оценочн. ф-иимоделируется не алгебраич. ур-ние а его 1-ая производная или дифф.уравнение.Решение дифуравнений с помощью ЦДА осуществл. путём перехода к разностным ур-ниям с последующим их решением.В связи с чем задача интерполяции по методу ЦДА сводится к следующему:1)Находится обыкновенное дифуравнение,решение которого является уравнение траектории рабочего органа.2)Составляется аналоговая модель для решения данного ур-ния.3)на основе аналоговой модели строится ЦДА, осуществляющий решение ур-ний в цифровом виде(разностном виде). Для интерполяции прямолинейного участка траектории: , , -приращение по соответствующим координатам. (1)для реализации кругового интерполятора запишем уравнение окружности: ; ; ;Вычисление интеграла в цифровой технике мож.быть выполнено по формулам прямоугольника и трапеции. (3) ;Так как в устр-вах ЧПУ процессы интерполяции и выдачи управляющих команд между собой не связаны,то масштабные множители принять=1,тогда система(3) будет преобразована к виду: ;так как выходной сигнал интерполят. выдаёт в унитарн. коде,то приращение по координате нулевое или единичное.Ур-ния для трапеции и прямоуг. приобретают вид(*).На основе ур-ния(*) составл. схема интегратора,который может быть реализован параллельн. либо последов. переносом.

 

 

Рис а: для линейн интерполят-ра по коорд-те у.

В регистр RG запис. знач-е подынтегральн. ф-ии,которая через элем-ты И подаётся на ,при этом временные интервалы опред-тся тактовой частотой генератора,который задаёт масштабн. множ-ль в ур-ние(3).C приходом каждого имп-са генератора происх суммир-ние предыдущ знач-ий с текущ знач-ем подынтегр ф-ии.В результ суммир-я формир-тся имп-сы переполнения сумматора .частота переполнения этих имп-сов прямо пропорц числу .связь между вых частотой и :

если = ,то приращ-е переменн по коорд-те у будет постоянно,т.е. движ-е будет происх с пост скоростью.Если величина подынтегр ф-ии будет изменятся в мом-тами между тактов имп-сами генератора то получим: (5);

 

 

26.Интерполяция методом цифрового интегрирования. пример.

Метод цифрового интегрирования (МЦИ) заключается в том, что приращения по координатам вычисляются за определённый кварт времени и могут отличаться от единичных. При использовании метода цифрового интегрирования значение i- той координаты и скорость её изменения в момент времени t могут быть вычислены по формулам:

Определение траектории движения формируется путём задания закона изменения ускорения в функции времени .

Наиболее трудоёмким методом цифрового интегрирования является метод Эйлера:

При реализации линейной интерполяции изменение скорости происходит по следующей диаграмме:

 

 

Реализация круговой интерполяции требует решения ДУ окружности.

Для обеспечения требуемой точности требуется использование алгоритмов, которые требуют дополнительных затрат и времени. Поэтому на практике применяются более простые методы приближённого расчёта. Аналогично уравнениям при линейной интерполяции, уравнения для угловой интерполяции будут иметь вид:

На основании рисунка можно записать следующие выражения:

Вычисление такой системы затруднительно, и поэтому пользуются следующими выражениями:

C учётом всех преобразований получают выражения в координатах , :

Система ЧПУ формирует сигнал задания скорости на привода, которые получаются путём расчёта приращений по координатам , за интервал времени :

 

27.Интерполятор на основе интегратора с параллельным переносом. схема

28.Интерполятор на основе интегратора с последовательным переносом Сигнальная диаграмма.