Типовые модели процессов смешивания

 

Рассматривается проблема составления смесей из различных компонент, обладающих заданным набором свойств. Среди всевозможных смесей необходимо найти смесь, обладающую заданными свойствами, согласующимися со свойствами компонент, и имеющую минимальную стоимость.

Вид формализованной модели задачи составления оптимальных смесей зависит от типов переменных. Если в качестве переменных x_j взять долю j -й компоненты в смеси, то модель запишется в виде:

(1)

 

(2)

(3)

(4)

Здесь:

i – порядковый номер свойств, которыми обладают компоненты и смесь, ;

a_ij – величина i -го свойства для j -той компоненты;

R_i – требование на величину i -го свойства для ед. смеси;

– интервал возможного включения j -той компоненты в смесь;

c_j – стоимость единицы j -той компоненты.

Если неизвестные сформулированы в виде: x_j – объём вложений j -той компоненты в натуральном выражении, то ограничение (1) приведённой выше модели записывается в виде:

,

где b – общее количество смеси, которое должно быть получено.

В такие модели, как правило, также включаются ограничения (2-3). Однако b_j несёт иную смысловую нагрузку. Здесь b_j – количество j -той компоненты, которое есть в наличии.

Если известны условия изготовления компонентов с учётом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединённая задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Усложнение задачи может происходить и за счёт внесения в модель ограничений, связанных с условиями использования смесей. В качестве примера рассмотрим модель составления оптимальных схем внесения удобрений. Введём обозначения:

j – вид культуры, J – число всех видов культур;

i – вид смеси удобрений, I – число всех видов смесей;

q – способ внесения удобрений, Q – число всех способов внесения удобрений;

r – номер формы, в которой находится действующее вещество в удобрении (легко- или труднорастворимые);

N_r, P_r, K_r – количество азота, фосфора и калия r -й формы, имеющегося на предприятии;

N_iqjr, P_ijqr, К_ijqr - количество действующего вещества азота, фосфора и калия r -й формы, необходимого для внесения по q -му способу в i -ю смесь под j -ю культуру на 1 га земли;

m – вид органического удобрения, M – число всех видов органических удобрений;

H_m – количество m -го вида органических удобрений, имеющихся на предприятии,

H_ijqm – количество органического удобрения m -го вида, вносимое по q -му способу в i -ю смесь под j -ю культуру на 1га земли;

S_jq – площадь посева под j -ю культуру, в которую можно внести удобрения по q -му способу;

a_ijq – логический коэффициент, равный 1, если можно внести i -ю смесь q -м способом под j -ю культуру, и равный 0 в противном случае;

C_ijq – эффективность (прибыль), полученная при внесении i -й смеси q -м способом под j -ю культуру на 1га земли;

x_ijq – число гектаров земли, отводимое под j -ю культуру с внесением i -й смеси удобрения q -м способом.

Получим следующую математическую модель:

.

Азотные удобрения:

Фосфорные удобрения:

Калийные удобрения:

Органические удобрения:

Площади: