Глава 3. Модели логистики и риска

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА

Моделирование процессов перевозок и назначения

Простейшие модели

 

Одним из распространённых процессов, при математическом моделировании которых с успехом используется транспортная задача и её модификации, является процесс перевозки и распределения продукции, сырья, трудовых и материальных ресурсов. Другими словами, речь идёт о моделировании процессов перевозки продукции с m пунктов производства в n пунктов потребления так, чтобы при этом был выполнен баланс производства и потребления и затрачены минимальные средства на транспортировку.

Математически этот процесс может быть описан следующим образом:

 

(1)

(2)

 

(3)

 

(4)

 

Здесь a_i – объём запасов i -го продукта на складах (или в пунктах производства), a_i >0;

b_j – объём потребления j -го объекта, b_j >0;

x_ij – количество продукции, перевозимое с i -го склада j -му потребителю;

c_ij – стоимость перевозки единицы груза с i -го склада j -му потребителю.

Отметим, что задача (1) – (4) является сбалансированной, если:

Если последнее условие не выполняется, причём объём потребления превосходит объём запасов, то ограничение (2) записывается в виде:

Если же предложение превосходит потребление, то ограничение (1) записывается в виде:

Нередко появляются дополнительные требования на пропускную возможность коммуникации, в этом случае появляется дополнительное ограничение:

, (5)

где d_ij – пропускная способность пути от i -го поставщика к j -му потребителю.

Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист, и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i -го специалиста на получение j -й работы оценивается коэффициентами c_ij матрицы С. При моделировании таких процессов x_ij вводится как булевская переменная

 

Ограничения в этом случае записываются в виде:

или

,

в случае если m > n, т.е. специалистов больше, чем мест работы.

Функция цели имеет вид:

 

К этому же типу моделей примыкают модели задач развития и размещения, заключающихся в одновременном отыскании объёма выпуска изделий на пунктах производства и вопроса прикрепления пунктов производства к пунктам потребления. Данные модели называются моделями развития и размещения и имеют следующий вид:

Где c_j – затраты производства единицы продукции у j -го производителя;

x_j – объём производства j -го производителя;

– верхняя и нижняя границы для выпуска продукции;

c_ij – затраты на транспортировку ед. продукции от j -го производителя к i -му потребителю;

x_ij – количество продукции, перевозимой от j -го производителя к i -му потребителю;

a_i – потребности i -го заказчика.

В заключение приведём модель развития и размещения в общемвиде, в случае, когда перевозится R видов продукции.

Найти оптимальный вариант развития транспортной сети, удовлетворяющий перевозке грузов к потребителям.

Введём обозначения:

q – номер варианта развития сети, Q – число всех вариантов развития сети;

g – вид груза, G – число всех видов груза;

i, j – пункты, между которыми осуществляется перевозка;

s – вид лимитированного ресурса; S – число всех видов лимитированных ресурсов;

R_sij – количество выделенных ресурсов s -го вида для развития транспортного участка между пунктами i и j;

– потребность в s -м виде ресурсов для перевозки g -го вида грузов по участку i, j согласно q -му варианту развития сети;

– текущие затраты на перевозку g -го вида груза из пункта i в пункт j согласно q -му варианту развития сети;

K_ij – выделенные капитальные вложения для развития участка сети от пункта i к пункту j;

– капитальные вложения, выделенные согласно q -му варианту развития сети для перевозки g -го груза от пункта i к пункту j;

E – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений в транспорт;

a_ij – пропускная способность участка I, j;

– план перевозок g -го вида продукции, перевозимого от пункта I к пункту j согласно q -му варианту;

– искомая величина, равная 1, если на участке от пункта I к пункту j выбирается q -й вариант развития сети по перевозкам g -го вида груза, и равная 0 в противном случае.

Математическая модель:

­– минимизация приведённых затрат;

– выбирается лишь один вариант развития;

– ограничение на объёмы выделенных ресурсов;

– ограничение на объёмы капитальных вложений;

– ограничение на план перевозок

 

 

Данная задача решается методами целочисленного програм-мирования.

Распределительные модели

Распределительных процессов

 

Задача 1. Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т, которые можно использовать на издание четырёх книг тиражом в 8000, 6000, 15000 и 10000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6, 0,8, 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость (в коп.) печатания книги при использовании i -го сорта бумаги задаётся матрицей:

 

 

Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.

Вариант решения 1. Обозначим через x_ik количество бумаги i -го сорта, расходуемой на печать k -той книги. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):

 

(1)

 

Ограничения на производственную программу:

 

(2)

 

Требование неотрицательности переменных:

 

. (3)

 

Функция цели в данной задаче представляет собой выражение, описывающее производственные расходы на печать книг, которые должны быть минимизированы:

 

. (4)

 

Ограничения (1-3) и целевая функция (4) составляют искомую математическую модель.

Вариант решения 2. Обозначим через x_ik количество экземпляров k -той книги, отпечатанной на бумаге i -того сорта. Тогда получим следующие ограничения на запасы бумаги (по каждому сорту):

 

.

 

Ограничения на производственную программу:

 

.

 

Требование неотрицательности переменных:

 

. Функция цели:

 

Задача 2. Авиакомпания для организации пассажирских перевозок между центром и четырьмя городами располагает тремя группами самолётов: 1-я группа – из 10 четырёхмоторных самолётов, 2-я – из 25 двухмоторных самолётов и 3-я – из 40 двухмоторных старого образца.

Минимальное (гарантированное) количество пассажиров, перевозимых одним самолётом данного типа по каждому маршруту за один месяц (в тыс. человек), и связанные с этим эксплуатационные расходы на 1 самолёт (в тыс. рублей) указаны соответственно в правых верхних и левых нижних углах каждой клетки таблицы. Там же в двух последних строках приведены: количество пассажиров, которое нужно перевезти по данному маршруту в месяц, и стоимость одного билета.

 

маршрут самолет	Город
	1,6	2,2	1,3	–
	2,8	3,0	2,4	2,0
	0,8	–	1,0	1,5
Количество пассажиров, тыс. чел.
Стоимость билета, руб.

 

Распределить самолёты по маршрутам из условия достижения максимальной прибыли авиакомпании.

Решение. Обозначим через x_ij количество самолетов i -го вида, выполняющих рейсы по j -му маршруту. Тогда получим ограничения на количество самолетов каждого вида:

(1)

В данной задаче потребностью является необходимость перевезти определенное количество пассажиров по определенному маршруту. Тогда ограничения на удовлетворение потребностей будут выглядеть следующим образом:

 

(2)

 

Требование неотрицательности переменных:

 

. (3)

Целевая функция должна представлять собой выражение, описывающее доход авиакомпании, который формируется за счет продаж билетов за вычетом эксплуатационных расходов. Она будет иметь вид:

(4)

 

2.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. На четырёх ткацких станках с объёмом рабочего времени 200, 300, 250 и 400 станко-часов может изготавливаться ткань трёх артикулов в количествах 260, 200, 340 и 500 метров за 1 час. Составить модель формирования плана загрузки станков, если прибыль (в руб.) от реализации 1 м ткани i -го артикула при её изготовлении на k -м станке характеризуется элементами матрицы:

,

а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна соответственно 200, 100 и 150 тыс. м.

Задача 2. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 50, 70, 65 и 60 руб. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ, в 3-й и 4-й мастерских – только на указанный вид работ. Матрица

характеризует транспортные расходы на доставку машины с i -й автобазы на k -тую ремонтную мастерскую.

Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объёма ремонтных работ по всем автобазам.

Задача 3. Четыре различных предприятия могут выпускать любой из четырёх видов продукции. Производственные мощности предприятий позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах (по заводам): 50, 70, 100 и 30 тыс. штук, а плановое задание составляет соответственно (по видам продукции) 30, 80, 20 и 100 тыс. шт. Матрица

 

 

характеризует себестоимость единицы k -го вида продукции при производстве его на i -м предприятии.

Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями.

Задача 4. Имеется три предприятия (1, 2, 3), которые могут выпускать три вида продукции: А, Б, В. Каждое из них располагает двумя видами ресурсов (I, II), объёмы которых составляют для 1-го предприятия 250 и 150 единиц, для 2-го 100 и 200 единиц и для 3-го соответственно 240 и 300 единиц. Известны: нормы затрат каждого ресурса на i -м предприятии для производства единицы k -й продукции (k = 1, 2, 3); себестоимость производства единицы k -й продукции на i -м предприятии; объём производства k -й продукции, предусмотренный производственной программой.

Все указанные числовые данные приведены в следующей таблице:

 

Предпри-ятия	Продукция А	Продукция Б	Продукция В
Нормы затрат	себесто-имость	Нормы затрат	себесто-имость	Нормы затрат	себесто-имость
I ресурс	II ресурс	I ресурс	II ресурс	I ресурс	II ресурс
				1,1			2,5
	1,5			1,6			2,2	2,5
	2,2		2,5	1,2	2,4		2,4	4,2
Програм-ма выпуска

 

Составить математическую модель для определения оптимальной специализации производства из условия минимизации суммарной себестоимости.

Решить ту же задачу из предположения, что I вид ресурсов жёстко закреплён за предприятием, а II вид можно передавать от одного предприятия другому.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Разные задачи

 

Задача 1. Управление аэрофлота хочет нанять новых стюардесс на работу в течение 4-х последующих месяцев. Найм осуществляется в начале месяца и продолжается до конца месяца, чтобы обучить стюардесс прежде, чем они приступят к регулярным полётам.

Требуется 110 часов непрерывной работы стюардессы в течение месяца, чтобы обучить каждую из них, и поэтому непрерывные обслуживающие полёты сокращаются на 110 часов для каждой практикантки.

В среднем стюардесса работает по 160 часов в месяц на авиалиниях аэрофлота. Ниже приведено количество лётных часов стюардесс, необходимое для постоянного обслуживания в следующие 4 месяца:

 

Сентябрь 9000

Октябрь 8000

Ноябрь 10000

Декабрь 12000

 

1 сентября на авиалиниях работало 67 стюардесс. Из прошлого опыта известно, что 10% стюардесс покидают свою работу каждый месяц. Каждая стюардесса получает 200 рублей в виде заработной платы. Стоимость подготовки стюардессы 120 рублей.

Составить модель формирования плана найма стюардесс, чтобы обеспечить линии и минимизировать затраты на их обучение и работу.

Задача 2. В хозяйстве требуется выполнить следующие типы работ: культивацию пара, подъём пара, культивацию пропашных, сенокос.

Работа выполняется при помощи тракторов ДТ-75 (10 машин), «Беларусь» (8 машин) и Т-25 (5 машин). Сезонная норма выработки составляет: для трактора ДТ-75 – 4000 га, для трактора «Беларусь» – 2400 га и для Т-25 – 750 га.

Требуется распределить работы между тракторами так, чтобы они были выполнены с минимальной себестоимостью. При подъёме пара и культивации пропашных трактор Т-25 не используется.

 

 

Вид работы	Себестоимость	Объём работ, га
ДТ-75	«Беларусь»	Т-25
Культивация   Подъём пара   Культивация пропашных   Сенокошение	4,5       3,5	4,2   3,5   4,5	4,2

Задача 3. Для контроля за работой баллистической ракеты используются 4 вида датчиков, которые помещены на ракете и результаты измерений которых регистрируются тремя типами наземных регистраторов-самописцев. Каждый датчик определяет одну из характеристик (температура, давление и т.д.) и передаёт результаты по отдельному каналу связи на любой самописец. В следующей таблице указаны численность датчиков и самописцев, а также время, затрачиваемое на включение соответствующего канала связи.

 

Датчики   Самописцы

 

Определить оптимальное закрепление датчиков к регистрирующим устройствам, при котором достигается минимум суммарных затрат времени на переключение каналов.

Задача 4. Инвестиционная компания «Омега» имеет 800 тыс. долларов, которые она хочет вложить в некоторые или все из следующих активов: корпоративные облигации, правительственные облигации, высокорисковые корпоративные облигации, обыкновенные акции, привилегированные акции и недвижимость. Эксперт компании по инвестициям оценивает ожидаемую годовую доходность, фактор риска, показывающий вероятность, с которой оцениваемый продукт будет дефицитен. Кроме того, известны сроки, на которые средства могут быть размещены в те или иные активы.

 

Инвестиционные мероприятия	Ожидаемый годовой продукт (%)	Фактор риска	Средний инвестиционный срок (в годах)
Корпоративные облигации   Правительственные облигации   Высокорисковые облигации   Обыкновенные акции   Привилегированные акции   Недвижимость	6,2   7,5   14,5   13,8   7,7   10,6	0,17   0,03   0,63   0,55   0,12   0,30

 

Компания стремится увеличить средний инвестиционный срок, по крайней мере, до 7 лет. Правительственное регулирование препятствует вложению более чем 30% инвестиций компании в высокорисковые облигации и обыкновенные акции. Также компания хочет, чтобы средний фактор риска составлял не более чем 0,25.

Как инвестиционная компания «Омега» должна разместить 800 тыс. долларов, чтобы максимизировать ожидаемый доход?

Задача 5. Правительственное агентство имеет в распоряжении 100000 долларов для распределения их между пятью фабриками, расположенными вдоль определённой реки с тем, чтобы помочь им сократить уровень загрязнения в реке в течение следующего года. Все фабрики стремятся полностью использовать фонды, полученные для того, чтобы сократить уровень загрязнений.

Текущее исследование показало следующий уровень загрязнения и стоимость сокращения уровня загрязнения.

 

Завод	F1	F2	F3	F4	F5
Текущий годовой уровень загрязнения (в млн. галлонов)   Стоимость сокращения уровня загрязнения на 1 млн. галлонов (тыс. долл.)	3,7     4,1	5,3     6,95	3,1     4,5	4,4     3,8	4,8     5,72

 

Из-за определённых условий окружающей среды абсолютно необходимо, чтобы уровень загрязнений F2 и F5 был сокращён, по крайней мере, на 2,9 и 2,4 млн. галлонов соответственно.

Как должны быть распределены деньги по заводам для того, чтобы максимизировать общее сокращение уровня загрязнений в реке в течение следующего года?

Задача 6. Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типов проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундамента и строительства остальной части здании в днях, а также жилая площадь дома и стоимость 1 кв. м жилой площади.

 

Тип дома	I	II	III	IV	V
Длительность закладки фундамента Продолжительность остальных работ Жилая площадь Стоимость 1 кв. м

 

Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство 15 зданий.

1) Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней).

2) Решить ту же задачу при дополнительном ограничении, число домов должно оказаться не менее 10.

3) Определить годовой план строительства, максимизирующий суммарную площадь при дополнительном условии, что средняя себестоимость 1 кв. м не превышает 180 р.

Задача 7. Предприятие выпускает два продукта (k = 1,2) для удовлетворения спроса b_jk, меняющегося по полугодиям (j = 1,2). Изготовление продуктов может производиться на трёх машинах (i = 1,2,3), для которых известно время t_ik, затрачиваемое i -й машиной на производство k -го продукта и суммарный резерв времени a_ij, которым располагает i -я машина в j -м полугодии. Известны

также затраты c_k на хранение единицы k -го продукта в течение полугодия. Все указанные величины приведены в следующей таблице:

 

tik	aij	bkj	ck
	I	II		I	II		I	II

 

Определить оптимальную производственную программу из условия минимизации затрат на хранение.

Задача 8. В некотором регионе необходимо построить электростанцию большой мощности. Возможны следующие варианты решения данной проблемы:

I. построение большого водохранилища и гидроэлектростанции;

II. построение тепловой электростанции на основном топливе и резервном;

III. сооружение атомной электростанции.

Экономическая эффективность каждого варианта рассчитана проектным институтом, который учитывал затраты на строительство и эксплуатационные расходы. На эксплуатационные расходы гидроэлектростанции влияют климатические условия, например такие, как погодные условия, определяющие уровень воды в водохранилищах. Большое число случайных факторов воздействует на экономическую эффективность тепловой станции: цены на мазут и газ, срывы поставок мазута из-за неритмичности работы транспорта в зимнее время, особенно во время снегопадов и продолжительных морозов. Экономическая эффективность атомной электростанции будет зависеть от больших затрат на строительство и от устойчивости агрегатов и системы управления во время эксплуатации.

Случайные факторы, от которых зависит эффективность рассмотренных вариантов, объединим в четыре возможных состояния природы:

B1 - цены на газ и мазут низкие; климатические условия благоприятные;

B2 - цены на газ и мазут высокие; климатические условия благоприятные;

B3 - цены на газ и мазут низкие; климатические условия неблагоприятные;

B4 - цены на газ и мазут высокие; климатические условия благоприятные.

Полученные проектным институтом расчеты эффективности приведены в следующей таблице:

	B1	B2	B3	B4
гидроэлектростанция
тепловая электростанция
Атомная электростанция

Какой вариант решения нужно выбрать в условиях неопределенности, используя различные критерии: пессимиста, оптимиста, Гурвица, Сэвиджа?

По данным многолетней статистики цен и состояний климатических условий были получены следующие вероятности состояний: B1 – 0,15; B2 – 0,3; B3 – 0,2; B4 – 0,35. Определить оптимальный вариант строительства с учетом данных вероятностей.

Задача 9. Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. дол., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. дол. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. дол. прибыли, 10 тыс. дол. убытков - при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благоприятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое провела экспертная группа, обошлось фирме в 15 тыс. дол. Экспертная группа считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. Статистика предсказаний данной экспертной группы показывает, что их положительные прогнозы сбываются в 80 случаях из 100, а отрицательные – в 85 случаях из 100.

Используя дерево решений, проанализируйте: следовало ли заказывать дополнительное исследование экспертной группе; какую максимальную цену может заплатить фирма экспертной группе за проделанное исследование, какой вариант решения нужно (крупную или небольшую партию) выбрать фирме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Замков А.А. Математические методы в экономике / А.А. Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н. Черемных - М.: ДИС, 1998 – 364 с.

2. Математические методы в планировании отрасли и предприятия. - М.: Экономика, 1973. – 374 с.

3. Гранберг А.Г. Математические методы в социалистической экономике / А.Г. Гранберг – М.: Экономика, 1978 – 350 с.

4. Жак С.В. Математическая модель менеджмента и маркетинга / С.В. Жак – Ростов-на-Дону, ЛаПо, 1997 – 307 с.

5. Коссов В.В. Межотраслевой баланс /В.В.Коссов – М.: Экономика, 1979 – 270 с.

6. Петухов А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики / А.А. Петухов, И.Г. Поспелов, А.А. Шананин – М.: Энергоатомиздат, 1996 – 544 с.

7. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для ВУЗов / Федосеев В.В., Гармаш А.Н. и др.; под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999 – 391 с.

8. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие / А.М.Дубров, Б.А.Лагоша, Е.Ю.Хрусталев, Т.П.Барановская; Под ред. Б.А.Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2001 – 224 с.

9. Лагуша Б.А. Методы и задачи моделирования рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / Б.А.Лагоша, Е.Ю.Хрусталев – М.: МЭСИ, 1998 – 220 с.

10. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах и бизнесе. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.

 

 

Дополнительная

 

1. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических процессах / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. – М.: Наука, 1986. – 196 с.

2. Математическое моделирование: Методы, описание и исследование сложных систем / Под ред. А.А. Самарского, Н.Н. Моисеева, А.А. Петрова. – М.: Наука, 1989. – 266 с.

3. Баева Н.Б. Моделирование экономических и производственных процессов. Метод указ. для решения задач № 809 / Н.Б. Баева, И.В. Замятин, Т.В. Азарнова, А.Я. Аснина. - Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2002. – 47 с.

4. Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов. Метод указ.

№ 588 / Н.Б.Баева – Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2003 – 26 с.

5. Хозяйственный риск и методы его измерения: Перев. с венгерс. / Т.Бочкаи, Д.Мессена, Д.Мико, Е.Сеп, Э.Хусти – М.: Экономика, 1979.

6. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие. – М.: Экономический ф-та МГУ, ТЕИС, 2002. – 312 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 3

 

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ. 4

 

§ 1. Основные понятия и факты....................................................................... 4

§ 2. Структурное моделирование..................................................................... 7

§ 3. Этапы разработки моделей....................................................................... 13

 

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.................... 16

 

§ 1. Модели формирования оптимального ассортимента.............................. 16

§ 2. Моделирование процессов смешивания................................................... 24

§ 3. Моделирование оптимального раскроя материала................................. 33

 

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА.............................................. 40

 

§ 1. Моделирование процессов перевозок и назначений............................... 40

§ 2. Распределительные модели....................................................................... 53

§ 3. Моделирование рисковых ситуаций в экономике................................... 59

 

ПРИЛОЖЕНИЕ................................................................................................ 84

Разные задачи.................................................................................................... 84

 

Список литература........................................................................................... 88

 

 

Составители: Баева Нина Борисовна

Азарнова Татьяна Васильевна

 

Редактор Тихомирова О.А.

 

 

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ЛОГИСТИКИ И РИСКА