протекающих в условиях риска и неопределенности

Выбор аппарата моделирования процессов, протекающих в условиях риска и неопределенности, определяется спецификой постановки задачи и конкретной информацией о случайных величинах, являющихся формализованным описанием неопределенности ситуации. Выделим несколько подходов:

· В условиях полного отсутствия информации о распределении случайной величины , значения которой описывают конечное множество взаимоисключающих событий в будущем , используются критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, базирующиеся на так называемой матрице выигрышей [8]. Пример 1 демонстрирует использование данных критериев с кратким изложением теории. В случае непрерывного характера случайной величины и отсутствия информации о ее распределении, при формировании математических моделей, являющихся аналогами моделей, приведенных в предыдущих разделах пособия, делаются следующие практические рекомендации. Во-первых, рекомендуют добавлять в модели интервальные ограничения , соответствующие экспертной оценке для данной случайной величины, во-вторых, строить дерево решений, отражающее параметрический анализ оптимального решения модели [8].

· Если известен закон распределения случайных величин, явля-ющихся формализованным описанием неопределенности ситуации, то, все зависит от глубины исследования и доступного математического аппарата. В простейшем случае вместо детерми-нированного показателя эффективности коммерческого решения (наиболее часто используемым показателем эффективности коммерческого решения служит прибыль) и (или) детермини-рованных параметров модели используется математическое ожидание (среднее ожидаемое значение) этих величин, а мерой риска коммерческого решения считается среднеквадратическое отклонение значения показателя эффективности этого решения. Действительно, поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода реше-ния, то чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем, тем меньше риск. Такой подход к моделированию ситуации в условиях риска и неопределенности используется в хорошо известной задаче формирования портфеля ценных бумаг в финансовом анализе. В нашем пособии данный подход демонстрируется в примерах 2, 3, 4, 5. В [8,9] делается подробный анализ такого подхода.

· Отдельно рассмотрим подход стохастического программирования [10], хотя он является частным случаем предыдущего. Этот подход можно использовать только в ситуациях, когда известен закон распределения случайных величин, являющихся формализованным описанием неопределенности ситуации. Опишем данный подход на примере задач линейного программирования. Если коэффициенты вектора целевой функции являются случайными величинами, то задача стохастического программирования может быть сформулирована в двух - и - постановках. При - постановке целевая функция означает максимизацию (минимизацию) математического ожидания показателя эффективности решения и записывается в виде:

.

При использовании - постановки должно быть экспертно задано предельно допустимое наихудшее значение целевой функции, например, при максимизации, задается минимально допустимое значение . Суть - постановки заключается в том, чтобы найти значения , при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельного значения:

.

При записи ограничений фактор неопределенности можно так же учитывать двумя способами. В первом варианте случайные величины, определяющие параметры линейных ограничений определяются их математическими ожиданиями, и ограничения записываются в виде:

,

где - математические ожидания случайных величин .

Во втором варианте каждое - е ограничение должно быть записано следующим образом:

,

эта запись означает, что вероятность того, что будет выполнено ограничение должна быть не менее заданной величины .

В общем случае задачи стохастического программирования как - так и в - постановках непосредственно не решаются. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам, в основе которого лежит использование закона распределения случайных величин [10].

Пример 1. Рассматривается проблема выбора из альтернативных решений в условиях неопределенности, когда известны только предполагаемых состояний окружающей среды и нет информации о вероятности наступления каждого из этих состояний. Считается известной матрица выигрышей. В строках данной матрицы стоят возможные альтернативные решения , а в столбцах возможные состояния окружающей среды . На пересечении -й () строки и -го () столбца стоит выигрыш ЛПР в случае, если при принятии -го решения наступит -е состояние окружающей среды.

 

	B1		Bj		Bm
A1
Ai			aij
An

 

Такая постановка задачи может соответствовать, например, следующей ситуации. Некоторая компания «Российский сыр» - небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт собирается производить новый продукт – сырную пасту. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков 6, 7, 8 или 9 сырной пасты следует производить в течение месяца. Предполагается, что спрос может быть также 6, 7, 8 или 9 ящиков. Вероятности того или иного спроса считаются неизвестными. Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компания собирается продавать каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.

Альтернативными решениями в данной задаче являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые следует производить компании. Состояния природы характеризуются величиной спроса на аналогичное число ящиков.

 

Спрос   предложение

 

Для построения матрицы выигрышей используется тот факт, что затраты на производство одного ящика 45 дол, и при этом ящик продается по цене 95 дол. Например, если компания продала 7, а произвела 8 ящиков, то выигрыш (прибыль) компании составит: 7*95-8*45=305, а если компания произвела 8 ящиков, а могла бы продать 9, то прибыль составит 8*95-8*45=400.

Для определения наилучшего решения в подобных ситуациях можно использовать следующие критерии.

Критерий максимакса. Это критерий крайнего оптимизма. При использовании данного критерия лицо принимающее решение определяет стратегию, максимизирующую максимальные выигрыши для каждого состояния природы. Наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш. Для нахождения решения используется следующая схема:

1. в каждой строке матрицы находится максимальный элемент .

2. из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется максимальный и принимается решение, на котором достигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Так для компании «Российский сыр» максимумы, полученные в каждой отдельной строке соответственно равны 300, 350, 400, 450 и по критерию максимакса следует выпускать 9 ящиков.

Максиминный критерий Вальда. ЛПР использующее данный критерий выступает как пессимист, который считает, что какое бы решение не было принято, произойдет самая худшая для этого решения ситуация и при этом нужно выбрать решение, для которого эта худшая ситуации самая хорошая. Поиск такого решения осуществляется по следующей схеме:

1. в каждой строке матрицы находится минимальный элемент .

2. из полученных в каждой отдельной строке минимумов ищется максимальный и принимается решение, на котором достигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Для компании «Российский сыр» минимумы, полученные в каждой отдельной строке соответственно равны 300, 255, 210, 165 и, таким образом, по критерию Вальда принимается решение выпускать 6 ящиков.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Прежде чем воспользоваться данным критерием лицо принимающее решение определяет некоторый параметр , характеризующий его отношение к риску. Крайние значения и соответствует пессимисту и оптимисту, характеризуют промежуточное отношение к риску. Согласно данному критерию для поиска решения используется следующая схема:

1. в каждой строке матрицы находится максимальный , минимальный элементы и вычисляется значение

2. из полученных в каждой отдельной строке значений вычисляется максимальное и принимается решение, на кото-ром достигается данный максимум (если данный максимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Продемонстрируем метод Гурвица на нашем примере при . Значения выражения по строкам соответственно равны: 300; 302,5; 305; 307,5. Таким образом, в соответствии с данным критерием, принимается выпускать 9 ящиков.

Критерий минимальных сожалений Сэвиджа. В основе данного критерия лежит предположение о том, что человек после принятия того или иного решения не любит жалеть о чем-то утраченном. Сэвидж предложил наряду с матрицей выигрышей использовать матрицу сожалений. Данная матрица строится по матрице выигрышей в соответствии со следующим алгоритмом:

1. в каждом столбце матрицы выигрышей находится максимальный элемент – это наибольший выигрыш при условии, что в будущем реализуется состояние окружающей среды, соответствующее данному столбцу, т.е. это то о чем можно сожалеть при данном состоянии окружающей среды.

2. элементы матрицы сожалений вычисляются по формуле и показывают сожаление о том, что при состоянии окружающей среды было принято решение .

Матрица сожалений для рассматриваемого демонстрационного примера имеет вид:

 

Спрос предложение

 

Дальнейший поиск решения осуществляется по следующей схеме:

1. в каждой строке матрицы сожалений находится максимальный элемент .

2. из полученных в каждой отдельной строке максимумов ищется минимальный и принимается решение, на котором достигается данный минимум (если данный минимум достигается одновременно на нескольких решениях, то принимается любое из них).

Для нашего примера максимумы, полученные в каждой отдельной строке соответственно равны 150, 100, 90, 135, и, таким образом, по критерию Сэвиджа принимается решение выпускать 8 ящиков.

Анализируя, исследуемый пример, можно сделать вывод, что различные критерии дают различные рекомендации по выбору решения:

Критерий максимакса - производить 9 ящиков

Максиминный критерий Вальда - производить 6 ящиков

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица - производить 9 ящиков

Критерий минимальных сожалений Сэвиджа - производить 8 ящиков.

 

Таким образом, в условиях неопределенности, при отсутствии информации о вероятностях состояний среды, принимаемые решения в значительной мере носят субъективный характер. Это объясняется не слабостью предлагаемых методов решения, а неопределенностью, отсутствием информации в рамках самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях – попытаться получить дополнительную информацию, путем проведения исследований и экспериментов.

Пример 2. Вернемся к рассмотренной в предыдущем примере ситуации с компанией «Российский сыр», предположив, что после проведения определенных исследований потенциала рынка, компании стало известно, что спрос на 6, 7, 8 или 9 ящиков ожидается соответственно с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. В данных условиях в качестве показателя эффективности принимаемого решения о производстве того или иного количества ящиков продукции (6, 7, 8 или 9 ящиков) можно рассматривать среднее ожидаемое значение прибыли (математическое ожидание прибыли), а в качестве меры риска решения – среднеквадратическое отклонение для прибыли. Данные характеристики для каждого решения соответственно равны:

для 6 ящиков

;

для 7 ящиков

;

для 8 ящиков

;

для 9 ящиков

.

Анализ полученных параметров эффективности и риска решения показывает, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, поскольку средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8 ящиков (352,5), мера риска – среднеквадратическое отклонение 76 для 9 ящиков больше аналогичного показателя (63,73) для 8 ящиков. А вот целесообразно ли производить 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков больше, но одновременно и средняя ожидаемая прибыль тоже больше. В некоторых работах в такой ситуации предлагается в качестве критерия выбора использовать коэффициент вариабельности прибыли, т.е. отношение риска к среднему ожидаемому значению. Окончательное решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр» исходя из своего опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Пример 3. Рассмотрим еще один пример более сложной ситуации принятия решений в условиях риска, анализ которой также базируется на среднем ожидаемом значении прибыли. Процесс принятия решения в данном примере осуществляется в несколько этапов, когда последующие решения основываются на результатах предыдущих, поэтому для его анализа используется дерево решений.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернативных решений и состояний среды.

Большая химическая компания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если – да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологии независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности:

· рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене;

· расходы на рекламу, если компания будет производить и продавать краску;

· время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар.

Размер выигрышей, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного рынка.

 

Номер стратегии	Действия компании	Выигрыш при состоянии среды
благоприятном	неблагоприятном
	Строительство крупного предприятия		-180000
	Строительство малого предприятия		-20000
	Продажа патента

 

Без проведения дополнительного исследования для руководства компании вероятность и благоприятного и неблагоприятного рынков одинакова и равна 0,5. Прежде, чем принимать решение о строительстве, руководство должно предварительно решить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, если известно, что исследование обойдется компании в 10000 долл. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но, оно может уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Прогнозы этой фирмы сбываются не всегда, так, если фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается, а с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия. Если же фирма утверждает, что прогноз неблагоприятный, то это сбывается с вероятностью 0,73. Для решения данной задачи построим дерево решений.

Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины дерева средних ожидаемых значений прибыли, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение средних ожидаемых значений прибыли.

Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, тогда средние ожидаемые денежные оценки:

· для крупного предприятия 0,5*200000+0,5*(-180000)=10000;

· для малого предприятия 0,5*100000+0,5*(-20000)=40000;

· для патента 0,5*10000+0,5*10000=10000.

Таким образом, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, то максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры рынка решили провести и прогноз фирмы, проводившей обследование, оказался благоприятным, тогда средние ожидаемые денежные оценки:

 

 

· для крупного предприятия

0,78*200000+0,22*(-180000)=116400;

· для малого предприятия

0,78*100000+0,22*(-20000)=73600;

· для патента 0,5*100000+0,5*10000=10000;

 

Данные значения показывают, что при благоприятном прогнозе конъюнктуры рынка, максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве крупного предприятия.

В случае, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка решили провести и прогноз оказался неблагоприятным, ожидаемые средние денежные оценки:

· для крупного предприятия

0,27*200000+0,73*(-180000)=-7400;

· для малого предприятия

0,27*100000+0,73*(-20000)=12400;

· для патента

0,5*10000+0,5*10000=10000.

Следовательно, при неблагоприятном прогнозе конъюнктуры рынка, максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

Проведенные по дереву целей расчеты, позволяют выяснить, является ли дополнительное обследование выгодным для фирмы. Выгодность исследования зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принимаемое решение.

Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной информации и максимальной денежной оценкой при отсутствии точной информации.

В данном примере ожидаемая денежная оценка при наличии точной информации равна 0,45*116400+0,55*12400=59200, а максимальная денежная оценка при отсутствии точной информации равна 40000. Таким образом, ожидаемая ценность точной информации равна: 59200-40000=19200, поэтому исследование, которое стоит 10000 выгодно для фирмы.

Пример 4. Финансовые решения в условиях риска. Опишем модель оптимального многопериодного планирования инвестиций в различные проекты. Индекс риска, связанного с реализацией каждого из проектов, оценивается экспертно по десятибалльной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой заданный индекс риска.

Акционерное общество (АО) заключило контракт на покупку нового оборудования для производства железобетонных блоков стоимостью 750000 дол. В соответствии с условиями контракта 150000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму - через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы расплатиться полностью и в указанные сроки, руководство АО планирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнительную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудование, отложить следует не всю сумму в 750000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правильности организации процесса инвестирования. Акционерное общество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возможностях) использования средств целевого фонда. Данные для задачи финансового планирования приведены в следующей таблице

 

Направления использования инвестиций	Возможные начала реализации инвестиционных проектов	Длительность инвестиционного проекта, мес.	Процент за кредит	Индекс риска
А	1,2,3,4,5,6		1,5
В	1,3,5		3,5
С	1,4
Д

 

Руководство АО ставит перед собой три основные цели:

1) при данных возможностях инвестирования и утвержденного графика выплат должна быть разработана стратегия, минимизирующая наличную сумму, которую АО направляет на оплату оборудования по контракту;

2) при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель риска, как предполагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управлению проектами;

3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестиционных фондов не должна превышать 2,5 месяца.

Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбирают наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рискованности должны компенсироваться менее рискованными, а долгосрочные проекты должны выполняться одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математическую модель. Динамика возможных вложений и условия возврата денежных средств отражены в следующей таблице

 

Инвестиции	Возможные вложения и возврат денежных средств на начало месяца, дол.
А в месяце 1	1	1,015
А в месяце 2		1	1,015
А в месяце 3			1	1,015
А в месяце 4				1	1,015
А в месяце 5					1	1,015
А в месяце 6						1	1,015
В в месяце 1	1		1,035
В в месяце 3			1		1,035
В в месяце 5					1		1,035
С в месяце 1	1			1,06
С в месяце 4				1			1,06
Д в месяце 1	1						1,11

 

Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями:

1. Начальная сумма инвестиций должна быть минимальной:

.

2. Балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:

;

3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца):

 

 

 

 

 

4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):

 

Оптимальное решение имеет вид: ;

Благодаря полученному оптимальному решению удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150000 дол. и вместо необходимых для конечных результатов 600000 дол (750000-150000=600000) заработать , часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86%).

Пример 5. Оптимизация размещения финансовых средств банка. Оптимизационный анализ деятельности банка заключается в перераспределении финансовых средств на балансовых счетах с учетом риска и прибыльности. Оптимизация баланса даже для опытных и квалифицированных менеджеров представляет чрезвычайно сложную процедуру и является одним из основных элементов управления банковскими средствами.

Анализ начинается с выбора показателя и критерия его оптимизации, введения ограничений, т.е. допустимых значений контрольных параметров. Далее определяются счета, которые планируется учитывать в разрабатываемой модели, и диапазон изменения начисляемых на них средств, после чего выполняется поэтапный расчет оптимизируемого показателя. При построении модели среднесрочного размещения средств банком под размещением будем понимать следующие направления финансовых вложений:

- кредитование предприятий и организаций;

- вложение в ценные бумаги;

- кредитование других банков;

- покупка валюты для игры как на курсе «иностранная валюта-рубль», так и на курсе «иностранная валюта- иностранная валюта»;

- факторинговые и лизинговые операции;

- фьючерсные сделки.

Допустим, что в момент времени общий объем средств, которыми распоряжается банк, равен . Вложения осуществляются по направлениям и равны соответственно . Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что все вложения имеют одну и ту же оборачиваемость, т.е. период возврата средств - одинаковый. Например, - это срок наиболее характерный для современного состояния дел в кредитовании предприятий и организаций банками. Будем считать, что за единицу измерения времени принимается период оборачиваемости .

По каждому виду актива, вкладываемого в какое-либо направление, предусмотрены процентные ставки (действующие на один период), которые считаются заданными к началу каждого периода . Уменьшив процентные ставки на величину налогов, уплачиваемых банком с полученной прибыли по соответствующему виду размещения средств, нетрудно получить матрицу процентных ставок с учетом налогообложения по каждому виду вложения , где . Заметим, что плата по одному из основных видов налогов – на прибыль – происходит раз в квартал авансовым платежом, что делает поставленную задачу более универсальной, так как в ходе решения получается расчетная сумма доходов, исходя из которой можно спрогнозировать объем авансового платежа по налогу на прибыль. Практика многих средних банков России показывает, что авансовый платеж по налогу на прибыль не рассчитывается, а берется примерно на три месяца вперед, поэтому часто вносится большая сумма, чем надо. Тем самым средства, заплаченные сверх нужной суммы, автоматически исключаются из оборота и не приносят доход.

Средства, размещенные банком в любой момент времени , по истечении одного периода изменяются в соответствии с соотношениями:

Разместить активы в виде вложения с максимальной процентной ставкой мешают ограничения, накладываемые центральным банком РФ и налоговым законодательством. На этот процесс оказывает влияние и конкретное отношение руководства банка к риску.

В следующей таблице показано, что степень риска зависит от статей активов, которые разбиваются на шесть групп, от соответствующих коэффициентов риска и ставки налога.

Статьи активов	Коэффициент риска	Ставка налога, %
Группа 1
Средства на корреспондентском счете в ЦБРФ	0,00
Средства на резервном счете ЦБРФ	0,00
Касса и приравненные к ней средства	0,05
Группа 2
Ценные бумага Правительства РФ	0,10	0,1
Ссуды, гарантированные Правительством РФ	0,15
Ценные бумаги местных органов власти	0,20
Группа 3
Кредиты другим банкам	0,25
Краткосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года минус ссуды, гарантированные Правительством РФ)	0,30
Факторинговые операции	0,5	21,5
Корреспондентские счета	0,25
Кредиты фирмам-нерезидентам и физическим лицам на потребительские цели	0,5
Группа 4
Долгосрочные ссуды (кредиты сроком до 1 года минус ссуды, гарантированные Правительством РФ)	0,5
Лизинговые операции	0,6	21,5
Группа 5
Ценные бумаги АО и предприятий, приобретенные банком	0,7	8,3
Другие права участия, приобретенные банком	0,8
Группа 6
Просроченная задолженность по ссудам	1,00
Опротестованные векселя	1,00
Другие виды активов (фьючерские операции, гарантии, поручительства, траст, посреднические операции)	1,00	21,5