Принципы составления проекции Гаусса.



Сущность равноугольной поперечно-цилиндрической поверхности, которая называется проекцией Гаусса, состоит в следующем.

На рис. 3 изображена уровненная поверхность Земли, принимаемая в первом приближении за шар радиуса R, где северный и южный полюсы соответственно находятся в точках С и Ю. Мысленно поместим земной шар в цилиндр так, чтобы поверхность цилиндра касалась шара по некоторому меридиану ЮОВС. При этом ось цилиндра пройдет через центр шара и будет перпендикулярна плоскости меридиана касания.

На поверхности земного шара возьмем точку А, положение которой определяется географическими координатами – широтой S, равной дуге БА меридиана, проходящего через точку А, и долготой L, равной дуге ГДБ экватора.

Если через точку А и ось цилиндра РР проведем плоскость, которая в сечении на шаре образует дугу большого круга ЕАВ, перпендикулярную меридиану касания в точке В, то положение точки А может быть определено отрезками дуг больших кругов ОВ=XA и ВА=YА, которые принято называть сферическими прямоугольными координатами точки А. Если при этом будет известна долгота меридиана касания, то положение точки А на поверхности шара вполне определится.

Если дугу ОЕ экватора и дугу ВЕ большого круга ВАЕ мысленно выпрямить и совместить с поверхностью цилиндра так, чтобы они оставались перпендикулярными к меридиану касания, то эти дуги займут положение образующих цилиндра ОЕ₂ и ВЕ₁, а точка А сферы займет на поверхности цилиндра положение А₀; при этом ее сферические координаты XА=ОВ (сферическая абсцисса) и YА=ВА=ВА₀ (сферическая ордината) останутся без изменений.

Мысленно разрежем цилиндр по образующим О₁О₁ и О₂О₂, затем развернем его на плоскость. При развертке цилиндра меридиан касания СОЮ обращается в прямую линию и служит осью абсцисс, а выпрямленная дуга экватора ОЕ₂ – осью ординат плоской прямоугольной системы координат. Начало этой системы координат окажется в точке О на экваторе.
На рис. 4 представлена развернутая на плоскость часть земного шара, ограниченная меридианами СДЮ и СБ0Ю, назначение которых выясним далее.

Таким образом, если нам будут известны сферические координаты некоторой точки А, то по этим координатам можно определить ее положение А₀ на плоскости развернутого цилиндра.
Однако такая проекция неудобна, так как при этом не сохраняется подобие фигур. Например, элемент А₁Б₁ (полоска) поверхности земли при переносе с шара на цилиндр, а следовательно и на плоскость удлиняется вдоль оси абсцисс и становится равной величине А'₁В'₁ (рис. 3). Чтобы достигнуть подобия фигур при перенесении их с шара на плоскость, искусственно вводят искажение и по оси ординат. При этом делается это так, чтобы искажение по оси ординат было одинаковой меры с искажением по оси абсцисс данного места.
В результате такого преднамеренного увеличения размеров фигуры в направлении оси ординат, размеры ее окажутся большими в сравнении с действительными размерами на поверхности Земли.

Увеличение размеров фигур будет тем больше, чем дальше они будут расположены от меридиана касания по долготе. В высшей геодезии доказывается, что для обеспечения подобия фигур в малых частях нужно сферические ординаты точек умножать на множитель: 1 + Y²/6R², т. е. для точки А₀ (рис. 3) величина ординаты на плоскости будет:

y_А = Y _А (1 + Y²/6R²), (1)
где:
Y _А – сферическая ордината точки А на поверхности Земли;
R – радиус Земли.

Абсцисса х_А точки А₀ на плоскости останется равной ее сферической абсциссе Х_А, т. е. х_А = Х_А.
Таким образом, если по оси абсцисс будем откладывать абсциссы х₁ точек, равные их сферическим абсциссам Х₁, а по оси ординат – ординаты, вычисленные по формуле (1), то на плоскости получим фигуры, подобные фигурам на поверхности земли, т. е. с равными углами. Такую проекцию принято называть равноугольной или конформной проекцией.
Вследствие увеличения размеров фигур при перенесении их вышеописанным способом с поверхности Земли на плоскость произойдет и увеличение длин во всех направлениях, т. е. длины на плоскости проекции окажутся больше соответствующих длин на поверхности земли, благодаря чему возникает необходимость введения специальных поправок в длины, измеренные на местности и приведенные к уровню моря.

В высшей геодезии доказывается, что поправка на увеличение длины при перенесении ее с поверхности Земли на плоскость проекции определяется в первом приближении по формуле:

dS = S y²/2R², (2)
где:
dS – погрешность;
S – длина линии на местности;
R – радиус Земли

При удалении точек от меридиана касания на 3 град. по долготе величины поправок за искажение длин будут меньше ошибок измерения при топографических съемках. Поэтому, если ограничиться полосой поверхности Земли, заключенной между меридианами СБЮ и СДЮ (рис. 3, 4), отстоящими от меридиана касания на 3 град. долготы, то в пределах такой шестиградусной полосы или зоны нет необходимости вводить поправки при производстве мелкомасштабных топографических съемок. Благодаря этому условились при применении рассматриваемой проекции делить всю поверхность Земли меридианами на шестиградусные или трехградусные зоны по долготе. Трехградусные зоны применяются при крупномасштабных съемках.

Для каждой зоны строится свой цилиндр, касающийся поверхности Земли по среднему меридиану зоны, который принято называть осевым меридианом. Долгота осевого меридиана для каждой зоны определяется по формуле:

6^o n – 3^o
(где n – номер зоны).

В каждой такой зоне начало прямоугольной системы координат будет в точке пересечения осевого меридиана с экватором.

В северном полушарии абсциссы положительны, ординаты имеют знак плюс к востоку от осевого меридиана и знак минус к западу. Иногда при составлении некоторых топографических карт ко всем ординатам прибавляется 500 км для устранения отрицательных их значений; кроме того, впереди записывается номер зоны.
Как известно, для определения взаимного положения пунктов опорной сети района съемок необходимо знать координаты хотя бы одного пункта. В высшей геодезии выводятся формулы перехода от географических координат пункта к прямоугольным плоским координатам с учетом всех искажений поперечно-цилиндрической проекции. Следовательно, для того, чтобы определить плоские прямоугольные координаты какой-либо точки поверхности Земли, нужно определить ее географические координаты, а затем обратиться к формулам высшей геодезии и вычислить по ним плоские прямоугольные координаты поперечно-цилиндрической проекции.
Такое свойство рассмотренной проекции позволило принять ее, как единую государственную систему координат.

Достоинства поперечно-цилиндрической проекции велики:

• На плоскости получается прямоугольная система координат, удобная для графических построений и для решения задач аналитическим путем.
• При производстве большинства топографических и маркшейдерских съемок нет необходимости вводить поправки в измерения за приведение их на плоскость проекции и тем осложнять вычисления.
• Поперечно-цилиндрическая проекция обеспечивает возможность использования каждого плана, как составной части общего картографирования страны.

* *