Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р ^/, то (Р ^/- Р)/ Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Т.е. доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть x_i – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i -го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть d_i - доходность в процентах годовых бумаг i- говида в расчете на одну денежную единицу.

Найдем доходность всего портфеля d_p. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+ d_p, с другой – стоимость бумаг i -го вида увеличится с х до х_i + d_ix_i, так что суммарная стоимость портфеля будет + =1+ x_id_{i .} Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем

1+ d_p = 1+ x_id_{i .}

d_p = x_id_i (1)

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (1).

Как правило, доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть m_i, _i – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е.

m_i = M - математическое ожидание доходности и r_{i = ,} где V_ii – дисперсия i – й доходности. Будем называть m_i, r_i соответственно эффективностью и риском i – й ценной бумаги. Через V_ij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов (или кореляционный момент К_ij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть M =x₁M +…+ x_nM = , обозначим его через m_p. Дисперсия доходности портфеля есть D = . Так же, как и для ценных бумаг назовем m_p- эффективностью портфеля, а величину _p= - риском портфеля r_p. Обычно дисперсия доходности портфеля обозначается V_p.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако поскольку “нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор, в конечном счете, определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Модель оптимального портфеля Марковица, которая обеспечивает минимальный риск и заданную доходность имеет вид:

(2)

Необходимо определить:

x₁,x₂ … x_n

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного, (приемлемого) риска r_p можно представить в виде:

(3)