Уравнения движения ГВ с постоянной коррекцией

При составлении уравнений движения ГВ ограничимся учетом только прецессионного движения гироскопа, поскольку нутационные составляющие движения практического значения не имеют. Эти составляющие, отображающие собственное движение гироскопа, необходимо учитывать лишь при наличии внешних возмущений, изменяющихся с частотой, близкой к частоте нутационных колебаний гироскопа, или при анализе устойчивости системы.

Хотя ГВ с радиальной коррекцией представляют собой замкнутые динамические системы, их устойчивость обеспечивается без использования каких-либо специальных средств вследствие малой скорости коррекционного движения, то есть малого значения общего коэффициента передачи элементов, образующих замкнутую систему.

В качестве опорной используется система координат, ориентированная по траектории. В этом случае углы отклонения главной оси гироскопа от вертикальной оси определяют непосредственно погрешности прибора, следовательно, эти углы будут малыми. С другой стороны, ориентация осей по траектории адекватна расположению осей карданова подвеса прибора на подвижном объекте.

Положение осей Резаля относительно выбранной опорной системы координат (рис. 1.4) определяют два угла: угол поворота гироскопа вокруг оси подвеса наружной рамки и угол поворота вокруг оси подвеса внутренней рамки (кожуха гиродвигателя).

Составляющие абсолютной угловой скорости поворота опорной системы координат определяются выражениями

где – горизонтальная составляющая линейной скорости объекта, – курс, – широта места.

Для составления уравнений движения ГВ используется метод Лагранжа. При составлении уравнений прецессионного движения вместо полного выражения кинетической энергии вращательного движения подвижной части прибора используем выражение кинетической энергии вращательного движения только вокруг главной оси z гироскопа. Пренебрегая массой наружной рамки и кожуха гироскопа, получим:

(1.1)

где – осевой момент инерции ротора.

Составим сначала уравнение движения по координате , используя (1.1)

Координата – циклическая, то есть

.

Поэтому в установившемся режиме

.

Следовательно,

.

Обозначим эту постоянную величину через H, то есть

(1.2)

Перейдем к составлению уравнения движения по координате с учетом (1.2)

Следовательно, уравнение движения по координате будет выглядеть следующим образом:

(1.3)

где – момент внешних сил, действующих на гироскоп вокруг оси подвеса наружной рамки.

Составим уравнения движения по координате :

Следовательно, уравнение по координате таково:

(1.4)

где – момент внешних сил относительно оси x подвеса внутренней рамки.

После линеаризации тригонометрических функций и в предположении их малости уравнения (1.3) и (1.4) получат следующий вид:

(1.5)

Не учитывая собственных колебаний маятниковых элементов, будем считать, что они в любой момент времени занимают положение динамической вертикали. Для составления аналитических выражений коррекционных моментов определим сначала углы отклонения маятников относительно вертикали. Считаем, что известно ускорение объекта в опорной системе координат в виде составляющих . Маятник будет испытывать действие силы тяжести и силы инерции , направление которых указано на рис. 1.5. Как следует из рисунка, поворот маятника вокруг оси - положительный и определяется (в предположении малости угла отклонения) по формуле

,

где .

Угол поворота маятника вокруг оси , совпадающей с точностью до малого угла с осью , - отрицательный: . Следовательно, углы рассогласования между главной осью гироскопа и маятниками

Для ГВ с постоянной (релейной) коррекцией коррекционные моменты можно записать в виде

(1.6)

где .

Двойной знак коррекционного момента соответствует двум возможным вариантам включения системы коррекции. Один знак соответствует правильному включению системы коррекции, когда коррекционное движение устойчиво, то есть когда коррекционный момент вызывает уменьшение начального рассогласования между гироскопом и маятником; второй знак соответствует неправильному включению, неустойчивому коррекционному движению, когда коррекционный момент увеличивает начальное рассогласование между гироскопом и маятником.

Уравнения движения ГВ с постоянной (релейной) коррекцией (1.5) можно представить в виде

(1.7)