Неустановившееся движение в напорном трубопроводе. Гидравлический удар

Уравнение одно­мерного неустановившегося движения

z1+P1/ρg+α1v1^2/2g=z2+P2/ρg+α2v2^2/2g+hc+hi,

(3.67)

где h_с — потери в гидравлических сопротивлени­ях, вычисляемые в первом приближении по тем же формулам, что и для установившегося движения; h_i=(1/g)∫_l1^l2(∂v/∂t)dl — инерционный напор, вычисляемый по средней скорости v.

Для трубы постоянного диаметра инерционный напор

hi=(1/g)(∂/∂t)∫l1^l2vdl=(L/g)(dv/dt)=(L/gS)(dV/dt)

(3.68)

где l — координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; S — площадь сечения; L — длина участка трубы.

При медленно изменяющемся во времени неус­тановившемся движении (например, при истечении из большого резервуара через малое отверстие) инерционным напором можно пренебречь, и тогда расчетные зависимости приобретают тот же вид, что и для установившегося движения.

Гидравлический удар в трубах является одним из видов неустановившегося движения и проявля­ется в резком изменении давления в трубе, вызван­ном маневрированием (закрытием или открытием) затвора. Течение при гидравлическом ударе описы­вается системой дифференциальных уравнений

 

(∂H/∂l)=if+(1/g)(∂v/∂τ)-(v/g)(∂v/∂l) (∂H/∂τ)-v(∂H/∂l)=(a^2/g)(∂v/∂l)

(3.69)

где H = z+ р/(ρg) — пьезометрический напор; v — средняя скорость; l — координата, отсчитываемая вдоль оси трубы; а — скорость распространения в трубе ударной волны (см. ниже); i_f — уклон трения (потеря энергии на трение на единице длины тру­бы).

Если длина трубопровода не очень велика, то уклоном трения i_f пренебрегают [10]. Обычно пренебрегают также членами v(∂H/∂l) и v(∂v/∂l, используя уравнения удара в виде

d²v/d²=a²d²v/dl²; d²H/dτ²=a²d²v/dl²

Поскольку величинами i_f и v₂/2g пренебрега­ют, при установившемся режиме пьезометриче­ский напор по длине трубы постоянен.

Рис. 3.16. Схема к выводу уравнений гидравлического удара в трубах

Рис.3.16Таким образом, система (3.69) приводится к двум волновым уравнениям, общие решения кото­рых применительно к схеме рис.3.16,а имеют вид

 

H-H0=f (t-l/a)+ φ(t+l/a) v-v0=-g/a[f (t-l/a)+ φ(t+l/a)]

(3.70)

где H₀ и v₀— соответственно пьезометрический напор и скорость в трубе при установившемся дви­жении; f и φ— произвольные функции; а — скорость распространения в трубе волны изменения давления, определяемая формулой Жуковского:

 

a=a0/√(1+εD/Eδ)

(3.71)

где а₀ =√(ε/ρ)— скорость распространения зву­ка в жидкости;ε — объемный модуль упругости жидкости; Е— модуль упругости материала сте­нок; D— диаметр трубы; δ— толщина ее стенок.

Таблица 3.11 Скорость распространения волны гидравлического удара в трубах

D, мм	Стальные трубы	Чугунные трубы	Асбоцемент­ные трубы
[[Image:]], мм	а, м/c	[[Image:]], мм	а, м/с	[[Image:]], мм	а, м/с
	4,0		7,5		9,0
	4,0		8,0		9,0
	5,0		8,5		11,0
	5,0		9,0		12,0
	6,0		9,5		14,0
	6,0		10,5		16,0
	6,0		11,5		19,0
	7,0		12,5		23,0
	7,0		13,0		27,0
	8,0		14,0		30,0
	8,0		15,0		34,0
	8,0		16,0		38,0
	9,0		18,0		45,0
	9,0		21,0		—	—
	10,0		24,0		—	—
	11,0		27,0		—	—
	12,0		30,0		—	—

При давлениях 10² —25ּ10² кПа и температуре Т= 10°С а₀ = 1435 м/с. Значения скорости распро­странения ударной волны в трубах из разных мате­риалов приводятся в табл.3.11.

Единицей времени в теории гидравлического удара служит фаза удара, т.е. время θ пробега удар­ной волны двойной длины трубопровода L: θ = 2L/а.

В зависимости от закона закрытия или откры­тия затвора и параметров трубы возникает прямой или непрямой гидравлический удар.

Прямой удар возникает, если время закрытия (открытия) меньше фазы удара (Т ≤ θ). Ударное из­менение пьезометрического напора в этом случае определяется формулой

Hк-H0=a/g(v0-vк

(3.72)

где H₀, v₀ и Н_к, v_к — соответственно напор и ско­рость в трубопроводе перед затвором до удара и в конце процесса закрытия (открытия).

Если затвор закрывается полностью, то v_к= 0 и ударное изменение напора выражается формулой Жуковского для прямого удара

Hк-H0=ΔH=av0/g

(3.73)

Учитывая, что для стальных трубопроводов а=1000 м/с, принимаем ΔH=100v₀, где v₀— в метрах в секунду.

Непрямой удар имеет место, если закрытие (от­крытие) происходит за время Т >θ. Для непрямого удара можно из (3.70) вывести цепные уравнения, связывающие значения скорости перед затвором v_iθ с соответствующими значениями напора H_iθ, в кон­цах каждой из фаз в течение времени закрытия Т (см. (3.74)), где индексами θ, 2θ отмечены значения напора и скорости в конце каждой из n фаз, составляющих в сумме интервал времени закрытия (открытия) Т.

Hθ-H0=ΔH=a(v0-vθ)/g; Hθ-H2θ-2H0=ΔH=a(vnθ-v2θ)/g; ………………………………... Hnθ-H(n+1)θ-2H0=ΔH=a(vnθ-v(n+1)θ)/g;

(3.74)

Если закон изменения скорости перед затвором v = F(t) известен, то известны значения правых час­тей всей цепочки уравнений (3.74), и тогда, последо­вательно вычисляя H_iθ (начиная с i= 1), с помощью уравнений (3.74) строим график изменения напора от фазы к фазе и по нему находим максимальный (или минимальный) напор, а значит, и давление.

Однако во многих случаях скорость перед за­твором может быть определена только по извест­ным значениям напора. Например, при свободном истечении через затвор справедлив квадратичный закон. В этом случае, вводя относительные величины α= Ω/Ω_mах; ζ = H/H₀; ρ=аV₀/(2gН₀), где Ω и Ω_mах — соответственно текущее и макси­мальное значения площади проходного отверстия затвора; V₀ — скорость в трубе при Ω = Ω_mах и H = H₀; ρ — параметр, систему (3.74) представляем в безразмерной форме [10]:

 

ζ0-1=2ρ(α0-αθ√ζθ); ζθ+ζ2θ-2=2ρ(αθ√ζθ-α2θ√ζ2θ); ……………………………………. ζnθ+ζ(n+1)θ-2=2ρ(αnθ√ζnθ-α(n+1)θ√ζ(n+1)θ);

(3.75)

Индексом nθ отмечены значения параметров перед затвором в конце n-й фазы.

Гидравлические расчеты

Гидравлический расчет трубопроводов является необходимым этапом проектирования системы теплоснабжения предприятия или населенного пункта.

Для проведения гидравлических расчетов трубопроводов, транспортирующих любой энергоноситель, должны быть предварительно определены и заданы:

• схема трубопроводной системы с указанием материалов, из которых они изготовлены; состояние их внутренней поверхности (эквивалентная шероховатость);
• предельные значения давлений и температур энергоносителя, которые они могут выдержать без разрушения;
• местоположение энергетического источника и каждого потребителя;
• геометрические длины каждого участка трубопроводов, а также количество и типы установленных на участке местных сопротивлений;
• расчетные (максимальные) потребности каждого потребителя в транспортируемом энергоносителе;
• требующиеся каждому потребителю параметры теплоносителей;
• табличные или графические материалы для определения зависимостей физических свойств теплоносителя (плотность, вязкость и др.) от изменения его параметров при движении по трубопроводу.

В задачу гидравлических расчетов входят:

• определение диаметров всех участков трубопровода, обеспечивающих доставку каждому потребителю необходимое ему расчетное количество теплоносителя (энергоносителя);
• определение потерь давления энергоносителя при прохождении через соответствующий участок трубопроводной системы.
• определение величины давления энергоносителя в каждом сечении рассчитываемого трубопровода.

Падение давления Δр_у, Па, или напора Δh_у = Δр_у/ρg, м, энергоносителя при движении через участок трубопровода, транспортирующего энергоноситель в виде сжимаемой (пар) или несжимаемой (вода) жидкости вызывается затратой энергии на преодоление сил трения между слоями жидкости и стенками трубопровода (так называемое линейное падение давления Δр_у.л. или напора Δh_у.л.) и затратой энергии на вихреобразование при прохождении потоком элементов трубопроводного участка, вызывающих изменение его направления и скорости (так называемое падение давления Δр_у.м.или напора Δh_у.м.в местных сопротивлениях, размещенных на участке трубы). Величины полных потерь давления и напора на участке получают суммированием

Δр_у = Δр_у.л + Δр_у.м или Δh_у = Δh_у.л + Δh_у.м.

Линейное падение давления –

Δр_у.л = R_л×l_у, Па,

а напора –

Δh_у.л = i l_у, м,

где l_у – длина участка трубопровода, м; R_л – удельное падение давления на одном метре длины участка, Па/м; i – гидравлический уклон, т.е. потеря напора на одном метре длины трубопровода (величина безразмерная).

Удельное линейное падение давления R_л, Па/м, так же, как и гидравлический уклон i, определяются по уравнению Дарси – Вейсбаха:

 

Rл=λθ^2ρ/(2dн)=0,8106λG^2/(ρd^5/sup>);

(3.76)

 

i=λθ^2/(2gdв)=0,8126λG^2/(ρ^2/sup>dв^5/sup>);

(3.77)

где λ– коэффициент гидравлического трения; θ – усредненная по сечению трубы скорость энергоносителя, м/с; ρ– плотность энергоносителя, кг/м³; d_в – внутренний диаметр трубопровода, м; G – массовый расход энергоносителя, кг/с; g – ускорение свободного падения, м/с².

Из (3.76) и (3.77) следуют формулы для вычисления внутреннего диаметра труб

 

dв=0,960λ^0,2G^0,4/(ρRл^0,2);

(3.78)

 

dв=0,764λ^0,2G^0,4/(ρ^0,4i^0,2);

(3.79)

а также зависимости для вычисления массового расхода G, кг/с:

 

G=1,1107ρ^0,5Rл^0,5dв^2,5/λ;

(3.80)

 

G=3,4795ρi^0,5dв^2,5/λ^0,5;

(3.81)

Величина коэффициента гидравлического трения l зависит от режима течения потока (характеризуемого значением числа Рейнольдса – Re) и от состояния внутренней поверхности стенки трубы (которое характеризуется отношением величины выступов эквивалентной шероховатости стенки D к внутреннему диаметру трубы). Данные о значениях эквивалентных абсолютных шероховатостях D труб, изготовленных из различных материалов, приведены в табл.3.8. Для вычисления l в гидравлических расчетах трубопроводов тепловых сетей целесообразно использовать формулы, приведенные в табл.3.9.

Потери давления или напора при прохождении потока через местное сопротивление, размещенное на трубопроводе, определяются по выражениям

 

Δpм=ζθ^2ρ/2=0,8106ζG^2/(ρdв^4);

(3.82)

 

Δhм=ζθ^2/2g=0,826ζG^2/(ρ^2dв^4);

(3.83)

где ζ – коэффициент местного сопротивления.

Иногда величину падения давления или напора в местном сопротивлении заменяют равновеликими их падениями при движении на прямом участке трубы. Длина такого участка называется эквивалентной длиной местного сопротивления – l_э, м, и вычисляется по формуле l_э = ζd_в/λ. Сумма эквивалентных длин всех местных сопротивлений, размещенных на i-м участке, Σl_эi=Σζd_в/λ, а доля местных потерь на участке i – a_i=Σl_эi/l_i.

Общие потери давления (Па) или напора (м) на i-м участке:

 

Δpуi=Rл(lуi+Σlэi);

(3.84)

 

Δhуi=iл(lуi+Σlэi);

(3.85)

Табл.3.12Рекомендуемые значения коэффициентов местного сопротивления для деталей трубопроводов и установленных на них арматуры и других элементов приведены в табл.3.12.

 

Таблица 3.12 Значения коэффициентов местных сопротивлений

элементов тепловых сетей [6, 12]

Характеристика местного сопротивления	Значение	Характеристика местного сопротивления	Значение
Отводы Гнутые гладкие под углом 90° при: Rгнdв = 1 Rгнdв = 3 Rгнdв = 4 Rгнdв > 4 Гнутые со складками по углом 90° при: Rгн /dв = 3 Rгн /dв = 4 Сварные под углом 90°: одношовные двухшовные трехшовные Сварные одношовные под углом: 60° 40° 30°	1,0 0,5 0,3 0,1¸0,2   0,8 0,5 0,85¸1,3 0,6 0,5   0,7 0,3 0,2	Тройники При разделении потоков: для прямого прохода для ответвления При слиянии потоков: для прямого прохода для встречных потоков Арматура: задвижки нормальные клапаны проходные клапаны с косым шпинделем обратные клапаны поворотные обратные клапаны подъемные водоотделитель грязевик компенсатор сальниковый компенсатор волнистый	1,0 1,5   1,2¸1,8 3,0   0,5* 4¸8   0,5¸2   1,3¸3   6,5¸7 8¸12 4¸10 0,2¸0,3 2,5

 

*Коэффициент сопротивления нормальной задвижки при ее частичном прикрытии определяется по выражению ζ={(1,17-n)/[(0,67-0,57n)n-1}², где n = доля открытия задвижки.

Открытая: n = 1, ζ= 0,5; закрытая: n = 0, ζ= ∞; открыта на 50%: n = 0,5, ζ= 6,2; открыта на 10%: n = 0,1. ζ= 270.

Приведенные выше зависимости и табличные данные применимы для гидравлического расчета трубопроводных систем с разнообразными энергоносителями. Ниже излагается методика гидравлического расчета на примере разветвленной двухтрубной закрытой водяной тепловой сети (рис. 3.17, а), состоящей из 4 потребителей и 7 участков тепловой сети в двухтрубном исполнении.

При проектировании тепловой сети диаметры подающей и обратной труб на каждом участке должны быть одинаковы и рассчитаны на пропуск к каждому i-му потребителю максимального расчетного расхода сетевой воды G_di, кг/с.

При качественном регулировании отпуска теплоты как в открытых, так и в закрытых системах теплоснабжения величина расхода G_di, кг/с:

Gdi=Go.p.i+Gв.р.i+KзGг.ср.i

(3.86)

где G_o.p.i– расчетный (максимальный) расход воды для системы отопления i-го потребителя:

Go.p.i=Qo.p.i/[C(τ1o.p-τ2o.p)];

(3.87)

G_в.р.i– расчетный расход воды для системы вентиляции i-го потребителя:

Gв.р.i=Qв.р.i/[C(τ1o.p-τ2d.p)]

(3.88)

G_г.ср.i– средний расход воды на горячее водоснабжение у i-го потребителя:

• в открытых системах теплоснабжения

Gг.ср.i=Qг.ср.i/[C(tг-tх)];

(3.89)

• в закрытых системах теплоснабжения при параллельной схеме присоединения водоподогревателей

Gг.ср.i=Qг.ср.i/[C(τ^'1-τ^'2г)];

(3.90)

• в закрытых системах теплоснабжения при двухступенчатой схеме присоединения водоподогревателей

 

Gг.ср.i=Qг.ср.i/[C(τ^'1-τ^'2г)]((55-tпр)/(55-tх)+0,2);

(3.91)

Значение коэффициента k_з, учитывающего ту долю среднего расхода воды на горячее водоснабжение, которая проходит через участок тепловой сети, в расчете его диаметра трубы данного участка следует принимать:

а) при качественном регулировании отпуска теплоты по отопительной нагрузке:

• в открытых системах с тепловым потоком до 100 МВт – k_з = 0,8, а при тепловом потоке в 100 и более МВт – k_з = 1,0
• в закрытых системах с тепловым потоком до 100 МВт – k_з = 1,2, а при тепловом потоке в 100 и более МВт – k_з = 1,0;

б) при качественном регулировании отпуска теплоты по совмещенной нагрузке отопления и горячего водоснабжения – k_з = 0.

Расчетное количество пара, необходимое i-му потребителю для обеспечения технологической нагрузки Q_т.р.i, кВт:

Gт.р.i=Qт.р.i/[x(hm-cts)+(1-x)(hm-ctх)];

(3.92)

где х – доля возвращаемого конденсата.

Значения величин τ_1ор,τ_2ор,τ_2вр,τ^'₁,τ^'_2г, t_г, t_х, t_пр, t_s приведены в разд. 2.

Используя рис.3.17, определяют количество и расположение всех потребителей, длины всех участков, типы и количества местных сопротивлений каждого участка сети.

По выражениям (3.86)¸(3.91) определяют расчетные расходы ко всем потребителям G_d1, G_d2, G_d3, G_d4. Используя табл.3.8, принимают значение эквивалентной шероховатости стальных труб D_э = 0,0005 м.

Так как по сети движется несжимаемая жидкость (сетевая вода), значение температуры которой при движении воды по длине трубы фактически не меняется, а определение диаметров тепловой сети проводят при режиме, когда температура сетевой воды τ₁^'°С, то принимают для всех участков значение плотности воды ρ = 975 кг/м³, а значение ее кинематической вязкости ν = 0,416×10^-8 м²/с.

Учитывая, что скорость движения воды в трубах лежит в пределах 0,5¸3,5 м/с, а диаметры применяемых в тепловых сетях труб лежат в пределах 0,1¸1,4 м, то проведение несложных расчетов показывает, что в тепловых сетях при расчетных режимах на любом участке Re > 568d_в/Δ_э.

Поэтому формулы (3.76)¸(3.81) преобразуются в более удобные для расчетов виды:

Rл=13,62*10^-6Gd^2/dв^5,25;

(3.93)

 

dв=0,117Gd^0,38/Rл^0,19;

(3.94)