Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Е.Е. Минина

 

 

ИНФОРМАТИКА

 

Методические указания по выполнению курсовой работы на тему: «Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»

для студентов очной формы обучения

на базе среднего (полного) общего образования направления

210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

профили: «Оптические системы и сети связи»,

«Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации»,

«Многоканальные телекоммуникационные системы»,

«Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»

в соответствии с требованиями ФГОС 3 поколения

 

Екатеринбург

ББК 22.19

УДК 517.9

 

 

Рецензент: профессор кафедры ИСиТ Л.И. Долинер

 

Минина Е.Е.

Информатика: методические указания для курсовой работы / Е.Е. Минина — Екатеринбург: УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ», 2012. — 27 с.

 

 

Методические указания рекомендованы для выполнения курсовой работы по теме: «Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений» по дисциплине «Информатика» для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» профили: «Оптические системы и сети связи», «Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации», «Многоканальные телекоммуникационные системы», «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи» (квалификация (степень) «бакалавр»).

 

 

Рекомендовано НМС УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» в качестве методических указаний по выполнению курсовой работы для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» профили: «Оптические системы и сети связи», «Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации», «Многоканальные телекоммуникационные системы», «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи» (квалификация (степень) «бакалавр»).

 

 

ББК 22.19

УДК 517.9

 

 

Кафедра информационных систем и технологий

 

 

Ó УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ», 2012
Содержание

Введение. 4

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы.. 5

Построение графиков функций в среде Visual Basic. 16

Задание к курсовой работе. 24

Литература. 27

 

 

Введение

Данное пособие создавалось с целью оказать помощь студентам в подготовке и написании курсовой работы. Курсовая работа завершает изучение курса «Информатика» связанного с применением компьютеров в профессиональной деятельности, к которой готовятся студенты. В этой работе студенты должны показать свои умения применять основные численные методы для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка, грамотного распределения информации и использования возможностей среды программирования Visual Basic.

В пособии рассматриваются следующие вопросы: цель курсовой работы и примерное календарное планирование по ее выполнению, структура работы и отчета по курсовой работе, основные этапы решения инженерных задач на ЭВМ, основы построения математических моделей, задания для выполнения в качестве курсовой работы для студентов направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

Методические рекомендации будут полезны не только студентам, выполняющим курсовую работу, но и студентам, изучающим курсы «Вычислительная математика» и «Численные методы», а так же желающим освоить тему и построение графиков функций в среде Visual Basic.

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы

 

Назначение курсовой работы

Курсовая работа является важнейшей составляющей курса и первой объёмной самостоятельной инженерно-расчётной работой студента. Курсовая работа завершает подготовку по дисциплине «Информатика» и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам.

Темой курсового проекта является «Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений» путём:

1) написания программы на языке Visual Basic;

2) проверки решения с помощью приложения MathCad.

В ходе выполнения курсовой работы предполагается решение дифференциального уравнения предложенными численными методами.

 

2. Примерное содержание пояснительной записки

Пояснительная записка оформляется на листах формата А4.

Первая страница – титульный лист, оформленный по общим правилам. Описание работы должно включать:

· постановку задачи и математическую модель,

· описание используемых методов (применительно к конкретной задаче),

· блок-схемы основных процедур,

· виды формы проекта (исходный – для ввода данных, итоговый – с представленным решением и графиком),

· листинг программы на языке Visual Basic,

· решение задачи в MathCad,

· вывод по работе.

 

3. Календарный план выполнения работы

На выполнение курсовой работы отводится 7 недель (7 практических занятий). На занятии предполагается отчет по самостоятельной работе студента и обсуждение хода работы с преподавателем.

 

Неделя.	Содержание выполняемой работы	Кол-во часов
	Построение математической модели задачи. Решение задачи в MathCad.
	Описание численных методов решения задачи. Построение алгоритма решения задачи для заданных численных методов в виде блок-схемы.
	Написание программы решения задачи на языке программирования VisualBasic.
	Отладка программы на компьютере.
	Пояснительная записка сдается на проверку.
	Защита курсовой работы.
	Защита курсовой работы.
ИТОГО

 

Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x₀) = y₀. Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

- тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

x

а tg(α) = f(x, y)

y

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

| x – x₀ | < a; | y – y₀ | < b

то существует, по меньшей мере, одно решение y = y(x), определённое в окрестности | x – x₀ | < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить

N = max| | при .

 

Метод Эйлера

Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности. Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x₀) = y₀.

Выберем шаг h и введём обозначения:

x_i = x₀ + i^.h и y_i = y(x_i),,

 

где i = 0, 1, 2, …

x_i – узлы сетки,

y_i- значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (x_i,y_i) под углом α. При этом

tgα = f(x_i,y_i) (2) В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда y_i+1 = y_i+Δy (3) Из прямоугольного треугольника АВС (4) Приравняем правые части (2) и (4). Получим .

Отсюда

Рисунок 2 - Метод Эйлера

 

Подставим в это выражение формулу (3), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

(5) Из формулы (5) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.

 

Рисунок 3 - Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

 

Задача.

Построить график функции y=sin(x) на отрезке [a,b]. Шаг табулирования принять равным h.

Решение.

Для построения графика функции в среде Visual Basic удобно воспользоваться некоторыми графическими компонентами.

 

 

Рисунок 9 - Расположение основных компонентов в окне General

 

Компонент Picture Box () используется в качестве контейнера для построения графика. Он представляет собой матрицу из точек (пикселей), причём имеется возможность управлять цветом каждой отдельной точки. Координаты любой точки определяются парой целых чисел – ее порядковым номером в строке Х и порядковым номером строки внутри объекта Y. Таким образом, координаты левого верхнего угла компонента (0, 0). Число точек в строке и число строк определяются размером компонента.

Рисунок 10 - Координаты объекта PictureBox

На рис. 10 показано расположение осей и координаты угловых точек объекта.

 

Компонент Line () используется для построения осей и отрезков ломаной графика функции.

Суть построения графика сводится к тому, что функцию необходимо представить в виде таблицы (протабулировать), а затем отметить на шаблоне графика точки и соединить их между собой.

Алгоритм построения графика функции приведен на рисунке 12. Алгоритм может быть модифицирован. В частности, некоторые процедуры могут быть объединены, а порядок действий в некоторых случаях может быть изменен.

Рассмотрим алгоритм более подробно.

До реализации алгоритма необходимо описать подпрограмму- функцию для построения графика. Это необходимо для облегчения модификации программы. Если потребуется построение графика другой функции, достаточно будет только изменить подпрограмму.

Так же до построения графика необходимо создать и отредактировать форму. Пример разработки формы приведен на рисунке 11. На форме надо расположить компоненты для ввода исходных данных, компонент для вывода на печать таблицы, командную кнопку, контейнер для размещения графика (PictureBox). Внутри PictureBox надо нарисовать оси координат с помощью прямых линий и расположить метки для записи границ отрезка значений аргумента функции и экстремумов функции на рассматриваемом отрезке.

Ввод исходных данных осуществляется в рассматриваемой программе при нажатии на командную кнопку. Очень часто ввод данных реализуется с помощью компонента TextBox.

Процедуру табулирования функции удобно осуществлять в цикле с параметром, так как известно количество обсчитываемых точек графика. До выполнения процедуры надо задать количество строк таблицы.

Количество строк рассчитывается по формуле k=n+2, где k – количество строк, а n – количество отрезков табулирования. Число строк должно быть больше количества отрезков на 2, так как необходимо учесть начальную точку (нулевую) и строку для записи заголовков столбцов страницы.

В самой процедуре табулирования можно совместить два действия – табулирование и расчет экстремумов. Такой вариант решения приведен в листинге программы на рисунке13.

Основной сложностью построения графика является переход от математического значения функции и аргумента к экранным координатам, используемым для построения графика. При решении этой проблемы необходимо учитывать противоположное направление осей на математическом графике и на объекте PictureBox и необходимость масштабирования картинки.

Коэффициенты масштабирования графика рассчитываются по следующим формулам:

 

,

где kx - коэффициент масштабирования по оси ОХ,

NPX – количество пикселей объекта PictureBox, отводимых для построения графика по горизонтали,

a – начальное значение отрезка аргумента функции,

b – конечное значение отрезка аргумента функции.

,

где Ky - коэффициент масштабирования по оси ОY,

NPY – количество пикселей объекта PictureBox, отводимых для построения графика по вертикали,

min – минимальное значение функции,

max – максимальное значение функции.

 

Перевод математических координат текущей точки в экранные производится по формулам:

zx = Round(ox + (x(i) - a) * kx),

zy = Round(oy - (y(i) - Min) * ky),

 

где zx, zy – экранные координаты текущей точки,

ox, oy - координаты точки пересечения осей в компоненте pictureBox,

x(i), y(i) – математические координаты текущей точки,

kx, ky – коэффициенты масштабирования.

В формуле расчета экранной координаты ординаты текущей точки используется знак «минус» для учета противоположного направления осей (на экране и на графике).

Листинг программы построения графика функции приведен на рисунке 13.

Примеры форм с результатами работы программы для различных исходных данных приведены на рисунках 14 и 15.

 

Рисунок 11 - Пример разработки формы

Рисунок 12 - Алгоритм построения графика функции

 

 

Rem Описание переменных

Dim x() As Single, y() As Single

Private a As Single

Private b As Single

Rem Ввод данных

a = Val(Text1.Text)

b = Val(Text2.Text)

h = Val(Text3.Text)

Rem очистка картинки

Picture1.Cls

Задание к курсовой работе

Литература

 

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З., Численные методы анализа. - М.: Физматгиз, 1963.-400 с.

2. Иванова Т.П., Пухова Г.В. Вычислительная математика и программирование. М.: Просвещение, 1978. – 320 с.

3. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1983. - 208 с.

4. Браун С. Visual Basic 6. Учеб. курс. – СПб.: Питер, 2006. – 574 с.

Е.Е. Минина

 

 

ИНФОРМАТИКА

 

Методические указания по выполнению курсовой работы на тему: «Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»

для студентов очной формы обучения

на базе среднего (полного) общего образования направления

210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

профили: «Оптические системы и сети связи»,

«Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации»,

«Многоканальные телекоммуникационные системы»,

«Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи»

в соответствии с требованиями ФГОС 3 поколения

 

Екатеринбург

ББК 22.19

УДК 517.9

 

 

Рецензент: профессор кафедры ИСиТ Л.И. Долинер

 

Минина Е.Е.

Информатика: методические указания для курсовой работы / Е.Е. Минина — Екатеринбург: УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ», 2012. — 27 с.

 

 

Методические указания рекомендованы для выполнения курсовой работы по теме: «Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений» по дисциплине «Информатика» для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» профили: «Оптические системы и сети связи», «Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации», «Многоканальные телекоммуникационные системы», «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи» (квалификация (степень) «бакалавр»).

 

 

Рекомендовано НМС УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» в качестве методических указаний по выполнению курсовой работы для студентов очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» профили: «Оптические системы и сети связи», «Цифровое телерадиовещание», «Сети связи и системы коммутации», «Многоканальные телекоммуникационные системы», «Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи» (квалификация (степень) «бакалавр»).

 

 

ББК 22.19

УДК 517.9

 

 

Кафедра информационных систем и технологий

 

 

Ó УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ», 2012
Содержание

Введение. 4

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы.. 5

Построение графиков функций в среде Visual Basic. 16

Задание к курсовой работе. 24

Литература. 27

 

 

Введение

Данное пособие создавалось с целью оказать помощь студентам в подготовке и написании курсовой работы. Курсовая работа завершает изучение курса «Информатика» связанного с применением компьютеров в профессиональной деятельности, к которой готовятся студенты. В этой работе студенты должны показать свои умения применять основные численные методы для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка, грамотного распределения информации и использования возможностей среды программирования Visual Basic.

В пособии рассматриваются следующие вопросы: цель курсовой работы и примерное календарное планирование по ее выполнению, структура работы и отчета по курсовой работе, основные этапы решения инженерных задач на ЭВМ, основы построения математических моделей, задания для выполнения в качестве курсовой работы для студентов направления 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

Методические рекомендации будут полезны не только студентам, выполняющим курсовую работу, но и студентам, изучающим курсы «Вычислительная математика» и «Численные методы», а так же желающим освоить тему и построение графиков функций в среде Visual Basic.

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы

 

Назначение курсовой работы

Курсовая работа является важнейшей составляющей курса и первой объёмной самостоятельной инженерно-расчётной работой студента. Курсовая работа завершает подготовку по дисциплине «Информатика» и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам.

Темой курсового проекта является «Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений» путём:

1) написания программы на языке Visual Basic;

2) проверки решения с помощью приложения MathCad.

В ходе выполнения курсовой работы предполагается решение дифференциального уравнения предложенными численными методами.

 

2. Примерное содержание пояснительной записки

Пояснительная записка оформляется на листах формата А4.

Первая страница – титульный лист, оформленный по общим правилам. Описание работы должно включать:

· постановку задачи и математическую модель,

· описание используемых методов (применительно к конкретной задаче),

· блок-схемы основных процедур,

· виды формы проекта (исходный – для ввода данных, итоговый – с представленным решением и графиком),

· листинг программы на языке Visual Basic,

· решение задачи в MathCad,

· вывод по работе.

 

3. Календарный план выполнения работы

На выполнение курсовой работы отводится 7 недель (7 практических занятий). На занятии предполагается отчет по самостоятельной работе студента и обсуждение хода работы с преподавателем.

 

Неделя.	Содержание выполняемой работы	Кол-во часов
	Построение математической модели задачи. Решение задачи в MathCad.
	Описание численных методов решения задачи. Построение алгоритма решения задачи для заданных численных методов в виде блок-схемы.
	Написание программы решения задачи на языке программирования VisualBasic.
	Отладка программы на компьютере.
	Пояснительная записка сдается на проверку.
	Защита курсовой работы.
	Защита курсовой работы.
ИТОГО

 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие y(x₀) = y₀. Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

- тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

x

а tg(α) = f(x, y)

y

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

| x – x₀ | < a; | y – y₀ | < b

то существует, по меньшей мере, одно решение y = y(x), определённое в окрестности | x – x₀ | < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить

N = max| | при .