Максимуми і мінімуми функції

 

Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х₀, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

¦(х)£¦(х₀).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х₁, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

¦(х)³¦(х₁).

f(x₂)=y_max

Y f(x₀)=y_max

 

f(x₃)=y_min

f(x₁)=y_min

 

x₀ x₁ x₂ x₃ X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x₀,x₁,x₂,x₃ – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х₀, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто ¦¢(х₀)=0.

Наприклад. На рис.1 ¦¢(х₀)=¦¢(х₁)=¦¢(х₂)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

¦¢(х₀)=0 y=f(x)

 

 

0 x₀ X

рис.43

Точки в яких ¦¢(х₀)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де ¦¢(х₀)=0, також серед точок, в яких похідна ¦¢(х) не існує. Наприклад в точці х₃ (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х₃ – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=¦(х):

1) неперервна при х=х₀;

2) має похідну ¦¢(х₀) в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3) похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х₀.

Тоді, якщо при переході через точку х₀ (зліва направо)

а) ¦¢(х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х₀ маємо максимум;

б) ¦¢(х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х₀ маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х₀ екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=¦(х) в точці х=х₀ має першу і другу похідну, причому ¦¢(х₀)=0, а ¦¢¢(х₀)¹0, і ¦¢¢(х) неперервна в околі точки х=х₀, то в точці х=х₀ у=¦(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо ¦¢¢(х₀)<0, і мінімум, якщо ¦¢¢(х₀)>0.

Див., напр., рис. 44

 

Y

 

 

x₀ x₁ X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли ¦¢(х₀)=0 і ¦¢¢(х₀)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=¦(х) має в околі точки х=х₀ неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f⁽ⁿ⁾(x₀)¹0, то при n парному функція має максимум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, i мінімум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)>0; якщо n – непарне, то функція екстремума в точці х=х₀ не має.

Приклади.

Дослідити на екстремуми функції:

1. . 2. .

Розв’язання

1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.

.

В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.

2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали

3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.

В даному випадку:

Якщо , то із маємо , функція - зростає;

Якщо , то із функція - спадає;

Якщо ж , то , функція - зростає.

Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.

4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак

з “-“ на “+”, то в точці - ,

з “+” на “-“, то в точці - .

У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,

.

При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум

.

Відповідь: .

2. . Область існування: .

Знаходимо похідну

.

Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали

на - ф. зростає;

на - ф. зростає;

на - ф. спадає;

на - ф. зростає.

У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.

;

.

Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.

Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна

,

Висота коробки - , тоді об’єм

Рис.

Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її

.

Знаходимо похідну

Прирівняємо похідну до нуля

.

.

Дослідимо знаки похідної.

 

 

Отже, при об’єм досягає максимуму.