Зростання і спадання функцій

VII. Дослідження функцій

 

Зростання і спадання функцій

Означення. Якщо функція y=f(x) така, що більшому значеню аргумента відповідає більше значення функції, то функція y=f(x) називається зростаючою. Аналогічно означається спадна функція.

Зручно відповідно позначити: ¦(х)­ і ¦(х)¯.

Теорема 1.

1) Якщо функція f(x), яка має похідну в інтервалі (a, b), зростає на [a, b], то її похідна в інтервалі (a, b) невід’ємна, тобто ¦¢(х)³0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну в (a, b), причому ¦¢(х)>0 для a<x<b, то ця функція зростає на [a, b].

Y

a

 

 

рис.40 X

Скорочено можна записати:

Доведення. 1. Нехай зростає і в околі точки існує скінчена похідна . Розглянемо ліву похідну в цій точці

та праву похідну

.

Оскільки ліва і права похідні збігаються в точці , то із останніх нерівностей випливає .

2. Нехай в околі точки . Застосуємо до різниці формулу Лагранжа

. (1)

Розглянемо два випадки. а) , тоді і права частина , тобто із (1) випливає

- функція зростає

б) , тоді і , із (1) маємо - функція зростає.

Отже, в околі точки (як зліва так і справа) функція зростає, якщо .

Аналогічна теорема має місце, якщо функція f(x) спадає.

Теорема 2.

1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

 

 

a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Розв’язання

1. Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь

, .

Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і

 

()

 

За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.

Якщо , то

- функція зростає.

Отже, для ;

для .

2. -функція визначена для всіх . Її похідна

має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали

 

, ,

 

 

Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція зростає.

3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну

.

Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:

, функція спадає;

, функція зростає;

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція спадає.

Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.

4. Функція існує для всіх , її похідна

.

Оскільки похідна невід’ємна, то дана функція непарна для всіх .

5. Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,

. Функція існує на проміжку . Похідна функції має вигляд

;

- корінь похідної, яка до того має таку область існування .

Для , функція зростає;

Для , функція спадає.

 

Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.

Приклади. Довести нерівності.

6. . 7. .

8. .

9. .

Розв’язання

6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.

7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .

8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто

при .

 

Довести нерівності

10. , якщо .

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1. ; .

2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .

 

Приклади.

Дослідити на екстремуми функції:

1. . 2. .

Розв’язання

1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.

.

В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.

2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали

3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.

В даному випадку:

Якщо , то із маємо , функція - зростає;

Якщо , то із функція - спадає;

Якщо ж , то , функція - зростає.

Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.

4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак

з “-“ на “+”, то в точці - ,

з “+” на “-“, то в точці - .

У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,

.

При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум

.

Відповідь: .

2. . Область існування: .

Знаходимо похідну

.

Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали

на - ф. зростає;

на - ф. зростає;

на - ф. спадає;

на - ф. зростає.

У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.

;

.

Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.

Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна

,

Висота коробки - , тоді об’єм

Рис.

Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її

.

Знаходимо похідну

Прирівняємо похідну до нуля

.

.

Дослідимо знаки похідної.

 

 

Отже, при об’єм досягає максимуму.

 

A b c X

рис.46

На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).

Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.

На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.

Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.

Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢(x) i f¢¢(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢¢(x)<0, i угнута, якщо f¢¢(x)>0, для всіх х з цього інтервала.

Так, напр., відповідно на рис.1 f¢¢(x)<0, якщо хÎ(a, b), f¢¢(x)>0, якщо хÎ(c, d).

Точки перегину знаходяться за наступною теоремою

Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо ,¥ або не існує і , змінює знак при переході через х₀, то х₀ є точкою перегину f(x).

Приклад. Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції.

.

Розв’язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні

,

.

Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.

Якщо на проміжку, то графік угнутий;

Якщо на проміжку, то графік опуклий.

У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна.

Отже, розв’язуємо рівняння

;

на , графік угнутий;

на , графік опуклий;

на , графік угнутий.

В точках і друга похідна міняє знак. Це є точки перегину.

.

Асимптоти графіка функції

Означення. Пряма (l) називається асимптотою графіка функції (кривої (L)), якщо відстань MN від змінної точки кривої (MÎL) до прямої прямує до нуля, якщо точка М віддаляється в нескінченність, тобто (див. рис. 47,48)

Y Y

M

M N

(L) N (L)

 

(l)

(l) X X

рис.47 рис.48

Асимптоти розрізняють:

1) вертикальні;

2) похилі (окремий їх випадок – горизонтальні).

1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при х®а±0, тобто

, або .

 

Y

M N

x x=a X

2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де

зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де

Приклади. Знайти асимптоти кривих:

1. . 2. .

Розв’язання

1. Із рівняння . Функція існує для .

Вертикальних асимптот функція немає оскільки при і .

Горизонтальних асимптот теж немає, бо .

Знайдемо похилі асимптоти за формулою ,

де .

Знайдемо

;

Знайдемо вільний член

.

Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи

.

2. . Дана функція визначена для , де .

Оскільки

,

то пряма є вертикальною асимптотою кривої.

Горизонтальних асимптот крива немає, оскільки

.

Знаходимо похилі асимптоти при і при .

.

.

Отже, існує права похила асимптота .

Знайдемо похилу асимптоту при .

оскільки , то - введемо під корінь

.

.

Отже, - ліва похі\ила асимптота.

На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.

 

Знайти асимптоти кривих

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.

Відповіді: 1. -ліва похила асимптота.

2. - горизонтальна асимптота.

3. - вертикальнаасимптота.

4. . 5. . 6.

7. . 8. .

9. .

VII. Дослідження функцій

 

Зростання і спадання функцій

Означення. Якщо функція y=f(x) така, що більшому значеню аргумента відповідає більше значення функції, то функція y=f(x) називається зростаючою. Аналогічно означається спадна функція.

Зручно відповідно позначити: ¦(х)­ і ¦(х)¯.

Теорема 1.

1) Якщо функція f(x), яка має похідну в інтервалі (a, b), зростає на [a, b], то її похідна в інтервалі (a, b) невід’ємна, тобто ¦¢(х)³0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і має похідну в (a, b), причому ¦¢(х)>0 для a<x<b, то ця функція зростає на [a, b].

Y

a

 

 

рис.40 X

Скорочено можна записати:

Доведення. 1. Нехай зростає і в околі точки існує скінчена похідна . Розглянемо ліву похідну в цій точці

та праву похідну

.

Оскільки ліва і права похідні збігаються в точці , то із останніх нерівностей випливає .

2. Нехай в околі точки . Застосуємо до різниці формулу Лагранжа

. (1)

Розглянемо два випадки. а) , тоді і права частина , тобто із (1) випливає

- функція зростає

б) , тоді і , із (1) маємо - функція зростає.

Отже, в околі точки (як зліва так і справа) функція зростає, якщо .

Аналогічна теорема має місце, якщо функція f(x) спадає.

Теорема 2.

1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

 

 

a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Розв’язання

1. Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь

, .

Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і

 

()

 

За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.

Якщо , то

- функція зростає.

Отже, для ;

для .

2. -функція визначена для всіх . Її похідна

має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали

 

, ,

 

 

Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція зростає.

3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну

.