Електричний ланцюг змінного струму

 

Нехай в ланцюг змінного струму включені послідовно опір , самоіндукція і ємність C. Нехай явища стаціонарні і напруга та сила струму є синусоїдальними величинами одного і того ж періоду.

1. Напруга задовольняє співвідношення

(42)

Знайдемо та , використовуючи формулу (40). Дістаємо

.

Таким чином, швидкість зміни сили струму (похідна ) відрізняється від сили струму тим, що амплітуда швидкості зміни сили струму домножається на множник , а до фази додається кут . Це означає, що перпендикулярна до , тобто

.

Знайдемо . Для цього використаємо формулу (40). Маємо Звідки

Таким чином, маємо

.

Зауважимо, що символ означає вектор, відповідний величині , а символ — вектор відповідний величині .

Підставимо знайдені величини та у формулу (42). Вона набуває вигляду:

Позначимо через

, а . (43)

Тоді попереднє співвідношення набуває вигляду

(44)

або

. (45)

Формула (44) представляє розклад вектора на дві складові: ватну складову , напрямлену по і безватну складову , напрямлену перпендикулярно до .

Залежність (45) між векторами напруги і сили струму має вигляд з вичайного закону Ома з тією різницею, що замість омічного опору рівняння (45) містить комплексний множник

Множник називається позірним опором ланцюга. Якщо врахувати формулу (43), то він має вигляд

. (46)

 

Звідки випливає, що множник складається із трьох «опорів»: омічного опору R, опору від самоіндукції і опору ємності . Формула (45) набуває вигляду

. (47)

Середнє квадратичне значення синусоїдальної величини визначається як інтеграл по періоду від квадрата цієї величини, тобто формулою

.

Корінь квадратний із називається ефективним або діючим значенням величини :

. (48)

Обчислимо середню потужність струму в ланцюгу, яка визначається як середнє квадратичне по всьому періоду від миттєвої потужності . Нехай — фаза напруги, — фаза сили струму і , . Знаходимо

Враховуючи, що і формулу (48), дістаємо

Звідки випливає, що найбільша середня потужність буде, якщо фази напруги і сили струму співпадають або відрізняються на період . В цьому випадку . Найменша потужність буде, якщо фази відрізняються на Тоді .

Безватна складова напруги у формулі (44) дає середню потужність, що дорівнює нулю, тому що вектор перпендикулярний вектору , тобто для нього і вся середня потужність, яка переходить у джоулеву теплоту, визначається ватною («робочою») складовою.

2. Визначимо силу струму.

Із співвідношення (45) знаходимо

(49)

де визначається формулою (43).

Позначимо множник

. (50)

Множник називається позірною провідністю ланцюга і є оберненим до величини позірного опору. Рівняння (49) набуває вигляду

. (51)

Множник називається позірною провідністю ланцюга і є оберненим до величини позірного опору.

Знаходимо

.

Із (51) маємо

Знайдемо . А саме,

. (52)

Тоді, враховуючи формули (50), (52), із (49) маємо формулу для знаходження сили струму

(53)

Якщо позначимо множник , то із формули (51) дістанемо

.

 

3. Паралельне і послідовне включення опорів

 

Основні правила для обчислення опору складного ланцюга постійного струму залишаються аналогічними і для ланцюгів зі змінним усталеним синусоїдальним струмом, якщо замінити миттєві значення напруги і струму замінити відповідними векторами, а омічні опори – позірними.

Нехай у ланцюг включено послідовно позірні опори

Тоді напруга і сила струму пов’язані співвідношенням

де (54)

При послідовному включенні позірні опори додаються, тобто додаються комплексні числа .

 

Нехай в ланцюг включено паралельно позірні опори

Тоді

де (55)

 

Розглянемо паралельне включення двох позірних опорів та Знайдемо комплексне число . Згідно з формулою (55) маємо

. (56)

Задамо позірні опори та комплексними числами в показниковій формі: , .

Нехай шукане комплексне число має вигляд: . Потрібно визначити модуль і аргумент комплексного числа , яке має вигляд (56). Формула (56) містить добуток чисел і та їх суму.

Згідно з означенням добуток комплексних чисел та дорівнює

.

Суму комплексних чисел та можна знайти в алгебраїчній формі, враховуючи, що комплексні числа відповідають векторам. Потім потрібно перейти до показникової форми суми: .

Підставимо значення , , у формулу (56). Дістанемо, що

Таким чином, модуль комплексного числа дорівнює ,

а його аргумент дорівнює . Отже. знайдено позірний опір

і тим самим визначена напруга при паралельному включенні двох позірних опорів.