Построение линии пересечения плоскостей треугольника и параллелограмма

 

Для решения задачи по построению линии пересечения плоскости треугольника АВС и параллелограмма KLMN задача по определению точки пересечения решается дважды,

так как необходимо определить две общие точки у плоскостей. Для этого находят точку пересечения одной из сторон треугольника с параллелограммом или стороны параллелограмма с треугольником. Затем выбирается другая сторона треугольника или параллелограмма и находится точка ее пересечения соответственно с параллелограммом или треугольником.

Так на рисунке 9 показано решение задачи по определению линии пересечения треугольника с параллелограммом. Решение проводится в следующем порядке:

1) Определяется точка пересечения стороны KN параллелограмма с плоскостью треугольника.

2) Определяется точка пересечения стороны АС треугольника с плоскостью параллелограмма.

После этого полученные точки соединяют и получают линию пересечения

 

плоскостей.

Определение видимости на чертеже

 

Завершает решение задачи определение видимости на чертеже. Видимость на чертеже определяется с помощью конкурирующих точек (рис.10).

 

Конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном проецирующем луче.

Рассмотрим две пары конкурирующих точек:

1) Горизонтально конкурирующие точки – это точки, лежащие на одном перпендикуляре к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, на горизонтальную плоскость они проецируются в одну точку. Из двух точек на горизонтальной плоскости будет видима та, которая выше по отношению к плоскости, а, следовательно, на чертеже ее фронтальная проекция лежит выше фронтальной проекции невидимой точки.

2) Фронтально конкурирующие точки - это точки, лежащие на одном перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. А, следовательно, на фронтальную плоскость они проецируются в одну точку. Из двух точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая дальше от плоскости, а, следовательно, на чертеже, ее горизонтальная проекция лежит перед горизонтальной проекцией невидимой точки.

Для определения видимости на чертеже эти пары точек выбираются так, что одна из них принадлежит плоскости треугольника, а другая плоскости параллелограмма. Анализируя положение проекций точек, определяют, которую из них видят, а, следовательно видят ту плоскость, чью точку видят.

 

Пример решения задачи

 

Пример решения задачи по построению линии пересечения плоскости треугольника с плоскостью параллелограмма приведен на рисунке 11.

 

Для того чтобы не запутаться в построениях, можно выполнить решение в два этапа на двух разных чертежах. Затем их объединить в один чертеж. Но видимость определяется только на конечном чертеже (рис.11).

И так выше было рассмотрено решение задачи №1 из первого задания.

 

 

Решение задач №2,3 и 4

 

 

Разберем частные случаи решения задач № 2,3,4 и увидим, что же их объединяет между собой.

 

Задача №2

 

Построение линии пересечения двух плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей является проецирующей, т.е. перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Проецирующие плоскости проецируются в прямую на плоскость проекций, которой они перпендикулярны. Следовательно, любая прямая, принадлежащая плоскости, проецируется в ту же прямую, что и плоскость.

Исходя из этого, можно утверждать, что если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна проекция линии пересечения известна – она совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость.

 

В задании необходимо построить проекции линии пересечения плоскости треугольника и плоскости параллелограмма. Если параллелограмм проецируется на плоскость проекций в прямую, то вторую проекцию линии пересечения определим из условия принадлежности ее плоскости треугольника (рис.1).

 

 

Рис.1

 

 

Задача №3

 

В этой задаче надо построить геометрическое место точек, равноудаленных от плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм, причем площадь его в два раза меньше площади параллелограмма. Прежде надо отметить, что это геометрическое место точек есть плоскость, удаленная от параллелограмма на расстоянии 40 мм и параллельная ему, а т.к. площадь его в два раза меньше площади параллелограмма, то это треугольник, две стороны, которого равны и параллельны сторонам параллелограмма.

Для решения этой задачи надо найти точку в пространстве, удаленную от параллелограмма на расстоянии 40 мм, а затем в ней строить плоскость треугольника. Расстояние от плоскости откладывают по перпендикуляру. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна горизонтали и фронтали плоскости. Если плоскость проецирующая, то перпендикуляр к плоскости провести просто, т.к. одна из главных линий плоскости есть прямая проецирующая, а сам перпендикуляр есть прямая уровня. Следовательно:

1) одна проекция его перпендикулярна прямой, в которую проецируется плоскость, а другая проекция параллельна оси Х;

2) т.к. перпендикуляр есть прямая уровня, то по нему можно откладывать расстояния (рис.3).

 

Когда точка найдена, в ней строят плоскость треугольника, стороны которого равны и параллельны сторонам параллелограмма (рис.4).

 

Задача №4

 

Построение натуральной величины параллелограмма проводится просто, если есть натуральная величина самого параллелограмма. Параллелограмм проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. В этом случае параллелограмм на вторую плоскость проекций проецируется в прямую, т.к. он ей перпендикулярен, и эта прямая располагается параллельно оси Х (рис.5).

 

 

 

Выводы

 

Решение разобранных задач показывает, что оно проводится просто, если плоскость занимает частное положение, а именно проецирующее. В задании плоскости заданы в общем виде, т.е. плоскости общего положения. Метод замены плоскостей проекций позволяет преобразовать исходные данные, т.е. свести решение задач к частному виду.

Так как в задачах решение необходимо проводить относительно плоскости параллелограмма (в 1 задаче – линия пересечения плоскостей, во 2 задаче – ортогональная проекция на плоскость параллелограмма, в 3 задаче – плоскость, параллельная параллелограмму, в 4 задаче – высота параллелограмма), то надо преобразовать параллелограмм общего положения в проецирующий для первых трех задач и далее в параллелограмм уровня для решения последней задачи. Исходя из этого, решение можно проводить на одном чертеже. Для простоты объяснения в методическом пособии разберем выполнение задач на отдельных чертежах.