Соотношение неопределенности Гейзенберга для: координат и импульса, энергии и времени. Невозможность одновременного измерения двух величин в квантовой физике.

 

Волновые свойства микрочастиц вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле. Например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса р_х. Неопределенности значений x и р_х удовлетворяют соотношению:

неопределенность импульса вдоль осей у и z соответственно равны:

Данные соотношения называются соотношения неопределенностей Гейзенберга. В этих уравнениях Δх, Δy, Δz означают интервалы координат, в которых может быть локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекция ее импульса по осям координат заключены в интервалах Δр_х, Δр_y, Δр_z соответственно.

Определим значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель ширины Δх, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис.22.1). Так как частица обладает волновыми свойствами света, то при прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля частицы, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси у и побочными максимумами по обе стороны от главного (мы их рассматривать не будем, т.к. основная доля интенсивности приходится на главный максимум).

До прохождения частицы через щель частица двигалась вдоль оси у, поэтому составляющая импульса р_х =0 и Δр_х = 0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение в направлении оси Х определяется с точностью до ширины щели, т.е. с точностью до Δх. В этот же момент вследствие дифракции частица отклонится от первоначального угла φ, соответствующий первому дифракционному максимуму, и будет двигаться в пределах угла 2φ. Следовательно, появится неопределенность в значении составляющей импульса частицы вдоль оси Х, которая как видно из рисунка равна:

 

Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу φ, соответствующей условию

 

где Δх – ширина щели, λ – длина волны де Бройля.

Следовательно, получим

- соотношение неопределенности Гейзенберга. В этом уравнение было учтено, что у некоторых частиц, попадающих за пределы главного максимума, величина . Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса, не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием двойственной корпускулярно-волновой природы микрообъектов. Соотношение неопределенностей было получено с использованием одновременно классических характеристик движения частицы (импульс, координата) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей Гейзенберга является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей энергии Е и времени t:

.

где ΔЕ – неопределенность энергии частицы, которая находится в течение времени Δt в состоянии с энергией Е. Энергия частицы в данном состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находится в этом состоянии.

 

 

Задание состояния квантовой частицы. Волновая функция, ее статистический смысл. Условие нормировки. Уравнение Шредингера.

Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси-функции) Ψ (х, у, z, t). Вероятность d w того, что частица находится в момент времени t в малом объеме d V вблизи точки М (х, у, z), равна:

где — квадрат модуля Ψ-функции: . Здесь —функция, комплексно сопряженная с Ψ. Величина есть плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства:

(22.4.1)

Интенсивность волны де Бройля определяется величиной .

Из определения Ψ-функции следует условие нормировки вероятностей:

(22.4.2)

 

где тройной интеграл по объему вычисляется по координатам х, у и z от - до + , т. е, по всему бесконечному пространству. Условие нормировки указывает на то, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице.

Волновая функция Ψ(х,у,z,t) является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины L, характеризующей объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ

(22.4.3)

где <L> — среднее значение величины L.

Временным уравнением Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t) (оно не выводится, а является фундаментальным и основано на тех экспериментальных результатах, которые были накоплены при изучении микрообъектов). Временное уравнение определяет Ψ-функцию для микрочастиц, движущихся в силовом поле с потенциальной энергией U(x, у, z, t) со скоростью υ<<с, где с — скорость света в вакууме.

Уравнение Шредингера имеет вид

, (22.4.4)

где Δ — оператор Лапласа , т — масса частицы,

h — постоянная Планка, - мнимая единица.

Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на Ψ-функцию:

а) функция Ψ должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

б) производные должны быть непрерывны;

в) функция должна быть интегрируема, т. е. интеграл должен быть конечным.

В случае, когда функция потенциальной энергии U не зависит от времени () решение временного уравнения Шредингера имеет вид:

причем координатная часть волновой функции Ψ(х, у, z) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

(22.4.5)

где W — энергия частицы.. Функции Ψ, удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном виде U =U{x, у, z), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях энергии W, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений W образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции U {х, у, z) энергетический спектр частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.

Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией W = const, то вероятность dw обнаружить ее в элементе объема dV не зависит от времени:

Такое состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны.

 

Общее уравнение Шредингера

Рассмотрим свободно движущуюся частицу. Согласно теории де Бройля ей можно сопоставить плоскую волну, описываемую уравнением

(22.5.1.)

Учитывая, что длина волны де Бройля и энергия и - волновое число придем к выражению

(22.5.2)

 

Продифференцировав выражение (22.5.2) один раз по t, а второй раз дважды по х, получим

Отсюда

В нерелятивистской классической механике кинетическая энергия W и импульс р свободной частицы связаны соотношением

Подставив в это соотношение выражения для W и р² получим уравнение

, (22.5.3.)

которое совпадает с временным уравнением, если предположить, что потенциальная энергия U = 0.

В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, кинетическая энергия W и импульс р связаны соотношением

получим

(22.5.4.)

Умножив соотношение (22.5.4.) на Ψ придем к уравнению

,

соответствующего общему уравнению Шредингера.

Основными задачами квантовой механики являются:

1. Поведение свободной частицы

2. Поведение частицы в потенциальной яме или с бесконечно высокими стенками

3. Прохождение частицы через потенциальный барьер (туннельный эффект)

4. Квантовый гармонический осциллятор.

Более подробно рассмотрим задачу о движении свободной частицы.