Способы прямой и обратной угловых засечек

Способ угловой засечки применяют для разбивки недоступных точек, находящихся на значительном расстоянии от исходных пу­нктов. Различают прямую и обратную угловые засечки.

В способепрямой угловой засечкиположение на местности про­ектной точки С (рис. 14) находят отложением на исходных пунктах А т В проектных углов β ₁, и β ₂. Базисом засечки служит или специально измеренная сторона, или сторона разбивочной сети. Проектные углы β ₁, и β ₂ вычисляют как разность дирекционных углов сторон. Дирекционные углы находят из решения обратной геодезической задачи по проектным координатам определяемой точки и известным координатам исходных пунктов.

На точность разбивки способом прямой угловой засечки оказы­вают влияние ошибки собственно прямой засечки, исходных дан­ных, центрирования теодолита и визирных целей, фиксации раз­бивочной точки, т. е.

. (28)

Средняя квадратическая ошибка собственно засечки равна

(29)

или

, (30)

где m_β - средняя квадратическая ошибка отложения углов β ₁, и β ₂.

Иногда возникает необходимость определить ошибку положения точки по осям координат. В этом случае ошибку засечки вычисляют по фор­мулам

; (31)

. (32)

Рис. 14. Схема разбивки спо­собами прямой угловой и ли­нейной засечек

 

Для приближенных расчетов принимают S ₁ = S ₂ = S. Тогда формула (30) будет иметь вид

. (33)

При заданной ошибке т_β величина ошибки засечки будет зава-сеть от угла γ и расстояния S до определяемой точки. С учетом влияния угла γ и расстояния S ошибка засечки будет минимальной при γ = 109°28'.

Ошибка исходных данных является следствием ошибок в поло­жении пунктов А и В. Если принять, что т_А = т_B = т_АB,то

. (34)

Для приближенных расчетов, приняв S ₁ = S ₂ = S и γ = 90°,можно записать

. (35)

По аналогии с формулами (34) и (35) совместное влияние ошибок центрирования теодолита и визирной цели выразится формулами

; (36)

, (37)

где l - величина линейного элемента центрирования.

При разбивочных работах центрирование теодолита и визирных целей с помощью оптических отвесов, фиксация выносимой точки могут быть выполнены сравнительно точно. Поэтому основными ошибками, определяющими точность способа прямой угловой за­сечки, являются ошибки собственно засечки и исходных данных. Суммарная величина этих ошибок составит

(38)

или

. (39)

При S ₁ = S ₂ = S и γ = 90°ошибка в положении выносимой в натуру точки выразится приближенной формулой

(40)

Часто при проектировании разбивочных работ решают вопрос о необходимой точности отложения разбивочных элементов, если задана точность определения проектного положения выносимой в натуру точки. Для прямой угловой засечки определяют ошибку отложения проектных углов.

Так, например, для b = 500 м, m_C = 20 мм, m_AB = 8мм, используя формулу (40), будем иметь

Отложить с такой точностью угол довольно сложно. Требуемая точность разбивки в этом случае может быть достигнута следу­ющим образом. Отложив с возможной точностью углы β ₁, и β ₂, определяют в натуре положение точки С. Затем на опорных пунктах соответствующим числом приемов измеряют точное значение от­ложенных углов. Для приведенного примера при использовании теодолита 3Т2КП надо выполнить не менее четырех приемов. Измеря­ют также угол γ на точке С. Распределив невязку в треугольнике поровну на все три угла, определяют координаты точки С. Срав­нивая их с проектными значениями, находят поправки (редукции), по которым в натуре смещают (редуцируют) приближенно вынесен­ную точку С. Такой способ называют способом замкнутого тре­угольника.

На принципе редуцирования основано и применение для разбив­ки способа обратной угловой засечки.На местности находят прибли­женно положение О' разбиваемой проектной точки О (рис. 15). В этой точке устанавливают теодолит и с требуемой точностью измеряют углы не менее чем на три исходных пункта с известными координатами. По формулам обратной засечки вычисляют коор­динаты приближенно определенной точки и сравнивают их с проектными значениями. По разности координат вычисляют величины Редукции (угловой и линейный элементы) и смещают точку в проектное положение. Для контроля на этой точке измеряют утлы, вновь вычисляют ее координаты и сравнивают их с проектными. В случае недопустимых расхождений все действия повторяют.

Для вычисления координат точки О' можно использовать формулы Деламбера и Гаусса. Применительно к (рис. 9), они будут иметь вид:

; (41)

; (42)

;

; (43)

; .

На точность разбивки способом обратной угловой засечки ока­зывают влияние ошибки собственно засечки, исходных данных, центрирования теодолита и визирных целей, фиксации разбивочной точки и редуцирования. Очевидно, что при сравнительно больших расстояниях от определяемого до опорных пунктов влияние первых двух источников будет наиболее существенным; остальными ошиб­ками можно пренебречь.

Ошибка собственно обратной засечки может быть подсчитана по приближенной формуле

, (44)

где S - расстояние от определяемо­го до соответствующих опорных пун­ктов; b - расстояние между соответ­ствующими опорными пунктами; ω_BAC - угол между исходными сто­ронами.

Если для приближенных расчетов принять, S_A = S_B = S_C = S_ср; b_AB = b_AC = b_ср, тоформула (33) примет вид

. (45)

Рис. 15. Схема способа обрат­ной угловой засечки

 

Ошибки исходных данных учиты­вают по формуле

, (46)

где т_А = т_B = т_C = т_АВс - ошибка в положении исходного пункта; .

Для приближенных расчетов

. (47)

В качестве примера соответственно по формулам (45) и (46) рассчитаем точность определения положения точки О' при S_ср ≈ 1350 м, b_ср ≈ 2200 м, ω_BAC ≈80⁰, m_β = 2", m_ABC = 5мм.

Получим m_сз = 11,5 мм, m_и = 6,2 мм, а общая ошибка

мм.

 

Способ линейной засечки

В способе линейной засечки положение выносимой в натуру точки С (рис. 8) определяют в пересечении проектных рассто­яний S ₁ и S ₂, отложенных от исходных точек А и В. Этот способ обычно применяют для разбивки осей строительных конструкций в случае, когда проектные расстояния не превышают длины мер­ного прибора.

Наиболее удобно разбивку производить при помощи двух руле­ток. От точки А по рулетке откладывают расстояние S ₁, а от точки В по второй рулетке - S ₂. Перемещая обе рулетки при совмещен­ных нулях с центрами пунктов А и В, на пересечении концов отрезков S ₁ и S ₂ находят положение определяемой точки С.

Средняя квадратическая ошибка в положении определяемой точ­ки в общем виде выражается формулой, аналогичной выражению (38) для угловой засечки. Ошибка собственно линейной засечки при одинаковой точности т_S отложения расстояний S ₁ и S ₂ может быть подсчитана по формуле

(48)

Минимальной ошибка собственно линейной засечки будет при угле γ = 90°. В этом случае

. (49)

Влияние ошибок исходных данных в линейной засечке выражается формулой

. (50)

При m_A = m_B = m_AB

. (51)

Для засечки при у = 90° т_исх = m_АВ.

В случае применения мерных приборов ошибки центрирования отсутствуют. Тогда общая ошибка в определении положения раз­биваемой точки С будет, в основном, зависеть от суммарной ошибки собственно засечки и исходных данных и выражаться формулой

. (52)

Для приближенных расчетов, приняв γ = 90°, будем иметь

. (53)

Определить необходимую точность отложения разбивочных рас­стояний можно, если задана точность определения проектного по­ложения выносимой в натуру точки и известна ошибка в положении исходных пунктов. Так, например, при т_C = 10 мм и т_AB = 5мм из формулы (53) можно получить

мм.

В случае, если для линейной засечки применяются дальномерные комплекты, которые центрируются при помощи штативов, то влия­ние ошибок центрирования можно определить по формуле

. (54)

 

Способ полярных координат

Способ полярных координат широко применяют при разбивке осей зданий, сооружений и конструкций с пунктов теодолитных или полигонометрических ходов, когда эти пункты расположены срав­нительно недалеко от выносимых в натуру точек.

В этом способе положение определяемой точки С (рис. 16) находят на местности путем отложения от направления АВ проектного угла β и расстояния S. Проектный угол β находится как разность дирекционных углов а_АВ и α _AC, вычис­ленных как и расстояние S из реше­ния обратных задач по координатам точек А, В и С. Для контроля поло­жение зафиксированной точки С мо­жно проверить, измерив на пункте В угол β ^{׳ ’} и сравнив его со значением, полученным как разность дирекцион­ных углов а_BА и α_CA.

Рис. 16. Схема разбивки спо­собом полярных координат

Средняя квадратическая ошибка выноса в натуру точки С опре­деляется формулой

. (55)

Ошибка собственно разбивки полярным способом зависит от ошибки m_β построения угла β и ошибки т_S отложения проектного расстояния S

. (56)

Влияние ошибок исходных данных при т_A = т_B = т_АB выражается формулой

, (57)

а ошибок центрирования

. (58)

Формулы (57) и (58) аналогичны. Из этих формул следует, что для уменьшения влияния ошибок исходных данных и центрирования необходимо, чтобы угол β и отношение были минимальны, полярный угол был бы меньше прямого, а проектное расстояние - меньше базиса разбивки, т. е. β < 90°, S < b.

Для приближенных расчетов, приняв β = 90° и S =b, получим

; , (59)

а для суммарной ошибки в положении точки, разбиваемой спосо­бом полярных координат,

. (60)

Для примера оценим точность разбивки проектного положена» точки С с пунктов ходов полигонометрии, для которой b = 250 м т_AB = 10 мм. Примем S =100 м, , β = 45°, m_β = 10", e = 1 мм и m_ф = 1 мм.

Ошибка отложения проектной линии составит

мм;

линейная величина ошибки построения проектного угла —

мм,

величины т_β и ρ выражены в секундах;

влияние ошибок исходных данных -

мм.

Из соотношения полученных величин видно, что ошибками цент­рирования и фиксации можно пренебречь. Таким образом,

мм.

Расчет показывает, что для данных условий уменьшение ошибки в положении выносимой в натуру точки возможно лишь при суще­ственном уменьшении ошибки отложения проектного расстояния, хотя бы в два раза.

Рис. 17. Схема разбивки спосо­бом проектного полигона

 

Если разбиваемая точка находится на значительном расстоянии от исходного пункта, то приходится несколько раз откладывать полярным способом проектные углы и расстояния, прокладывая проект­ный ход (рис. 17). При наличии пря­мой видимости с точки С на точку В для контроля измеряют примычные углы γ ₁ и γ ₂, образуя замкнутый уг­ловой полигон. Поэтому такой способ называют способом проектного поли­гона. При точных разбивочных рабо­тах углы полигона уравнивают, вычи­сляют по ним и проектным расстоя­ниям координаты точки С, сравнива­ют их с проектными и при необходи­мости редуцируют в проектное поло­жение.

При редкой разбивочной основе способ проектного полигона дожет быть использован для разбивки всех точек пересечения ос­новных осей сооружения от одного исходного пункта. В этом случае проектный ход с проектными углами и расстояниями прокладыва­ют полностью.