Арифметические действия над непрерывными функциями

 

Теорема. Если функции y = f (x) и g = g(x) непрерывны в точке x ₀, то и функции f (x)±g(x); f (x)×g(x); при g(x)¹0; C× f (x), где C – const, также непрерывны в точке x ₀.

Доказательство

1. Доказательство этой теоремы вытекает из определения непрерывности функции в точке и свойств пределов функций, имеющих конечные пределы.

2. Так как функции f (x) и g(x) непрерывны в точке х ₀ по условию теоремы, то на основании определения №1 непрерывности функции в точке можно написать: и .

3. Согласно теоремам о пределах алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих конечные пределы в точке х ₀, будут существовать пределы таких функций в точке x ₀: f (x) ± g(x); f (x) × g(x); , g(x)¹0; C× f (x), причем эти пределы будут соответственно равны:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Но величины: f (x ₀) ± g(x ₀); f (x ₀) × g(x ₀); , g(x ₀) ¹ 0; C × f (x ₀) являются значениями соответствующих функций в точке х ₀. Следовательно, согласно определения №1 непрерывности функции в точке функции f (x) ± g(x); f (x) × g(x); , g(x)¹0; C× f (x), C – const, будут непрерывны в точке x ₀.

ч.т.д.

Пример №1. Доказать, что функция y = x непрерывна в любой точке числовой прямой.

Доказательство

Так как приращение функции равно приращению аргумента в любой точке числовой прямой, то есть D y =D x, то , а значит, рассматриваемая функция непрерывна в любой точке числовой прямой.

ч.т.д.

Пример №2. Функция такого вида y = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 + … + a _n-1 x + a _n является непрерывной в любой точке числовой прямой.

Доказательство следует из теоремы и примера №1.

Пример №3. Дробно - рациональная функция является непрерывной на всей числовой прямой, исключая нули знаменателя.

Доказательство следует из теоремы и примера №2.

 

Односторонняя непрерывность

 

Наряду с понятием предела функции в точке рассматривали также понятие односторонних пределов в точке (правого и левого). Поскольку определение непрерывности функции в точке даётся через понятие предела, то можно дать определение односторонней непрерывности функции в точке.

Определение №1. Функция y = f (x) непрерывна справа в точке x ₀, если:

1) y =f(x) определена в некоторой правосторонней d-окрестности точки x ₀;

2) Существует предел функции в точке x ₀ справа, т.е. ;

3) И этот предел равен значению функции в точке x ₀, т.е. .

Определение №2 (на "языке e-d"). Функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀ справа, если ("e>) ($d>) (" x: x ₀ £ x < x ₀ + d): .

Определение №3 (на "языке окрестностей"). Функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀ справа, если:

("U(f (x ₀),e)) ($U(x ₀ + 0,d)) (" x ÎU(x ₀ + 0,d)): f (U(x ₀ + 0,d)) Í U(f (x ₀),e).

Определение №4 (на “языке последовательности”). Функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀ справа, если:

1) U(x ₀ + 0,d) Í D_f;

2) " { x _n}® x ₀, n ® ¥, x _n ³ x ₀ { f (x _n)} ® f (x ₀) при n ® ¥.

Замечание. Аналогично определяется непрерывность функции в точке x ₀ слева.

Определение №5. (на “языке приращений”) Функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀ справа тогда и только тогда, когда , т.е. бесконечно малому неотрицательному приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: D x ® 0, D x ³ 0 Þ D f (x ₀)® 0.

Теорема. Функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке.

Доказательство необходимости

1. Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀. Требуется доказать, что функция непрерывна в точке x ₀ слева и справа и

.

2. Так как y = f (x) непрерывна в точке х ₀, то согласно определения №1 непрерывности функции в точке х ₀.

3. На основании определения непрерывности функции в точке на "языке e-d" можно записать: ("e>)($d>)(" х: ÷ х – х ₀÷<d): ÷ f (x) – f (x ₀)÷<e.

4. Из неравенства ÷ х – х ₀÷<d следует два неравенства:

а) х ₀ – d < x £ x ₀ ;

б) x ₀ £ x < х ₀ + d.

5. Они позволяют сделать вывод:

1) ("e>)($d>)(" х: х ₀ –d < x £ x ₀): ÷ f (x) – f (x ₀)÷<e Û ;

2) ("e>)($d>)(" х: x ₀ £ x < х ₀ + d): ÷ f (x) – f (x ₀)÷<e Û .

Следовательно, , т.е. функция y = f (x) будучи непрерывной в точке х ₀, непрерывна в точке х ₀ слева и справа.

Доказательство дос­та­точ­но­сти

1. Пусть функ­ция y = f (x) не­пре­рыв­на в точ­ке х ₀ сле­ва и спра­ва, т.е. су­ще­ст­ву­ют пре­де­лы . Требуется доказать, что она непрерывна в самой точке х ₀, т.е.

2. На основании определения предела функции в точке слева и справа можно записать:

1) ("e>)($d>)(" х: х ₀ – d < x £ x ₀): ÷ f (x) – f (x ₀)÷<e;

2) ("e>)($d>)(" х: x ₀ £ x < х ₀ + d): ÷ f (x) – f (x ₀)÷<e.

3. Неравенства х ₀ – d < x £ x ₀ и x ₀ £ x < х ₀ + d можно представить в виде равносильности х ₀ – d < x < х ₀ + d Û x ÎU(х ₀, d).

4. Следовательно, ("e>)($d>)(" х ÎU (х ₀, d)): .

5. Таким образом, функция y = f (x) непрерывна в точке х ₀.

ч.т.д.

Следствие. Функция y = f(x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда:

1) Функция определена в некоторой окрестности точки U(х ₀,d);

2) ;

3) ;

4) .

Пример. Показать, что функция непрерывна в

точке x ₀ =2.

Решение

Известно, что функция непрерывна в точке x ₀ÎR\{0}. Значит, функция непрерывна в каждой точке x ₀ÎR\{1}.

Следовательно, функция будет непрерывна в точке x ₀ =2.

1. Следовательно, .

2. Определим значение функции в точке : .

3. Функция непрерывна в каждой точке x ₀ÎR. Следовательно, она непрерывна и в точке x ₀ =2, будет существовать

.

4. Так как , x ₀ =2, то заданная функция f (x) непрерывна в точке x ₀ =2.

Модуль

Тема №4