Находження функції за її повним диференціалом

Якщо , тобто , тоді

(при русі по ламаній - шлях 1) або (при русі по ламаній - шлях 2) (рис. 8.1).

Якщо дозволяє умова задачі, то у якості точки доцільно взяти точку

Рис. 8.1 Приклад 16. Перевірити, що вираз

є повний диференціал, і знайти функцію.

Розв’язок. Таким чином, даний вираз є повним диференціалом деякої функції. У якості візьмемо

=

Таким чином, .

 

ВИКОРИСТАННЯ КРИВОЛІНІЙНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Обчислення площі плоскої фігури

Приклад 17. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом:

, (рис. 9.1).

Розв’язок. Приймаючи до уваги симетрію фігури, знайдемо площу її чверті. t – кут, що змінюється у перший чверті від 0 до .

Рис. 9.1

Площа всієї фігури будет дорівнювати кв. од.

2. Механічна робота А змінної сили

при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L визначається наступним чином: .

Приклад 18. Поле утворено силою . Побудувати силу у кожній вершині квадрата і знайти роботу А одиниці маси по контуру квадрата.

Розв’язок.

Рис. 9.2

 

ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

І. Обчислити подвійний інтеграл:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. .

23.

24.

25.

ІІ. Змінити порядок інтегрування:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

ІІІ. Обчислити подвійний інтеграл за допомогою переходу

до полярної системи координат:

1. D - кільце:

2. D - коло:

3. , D - кільце:

4. D - кільце:

5. , D - кільце:

6. , D - кільце:

7. , D:

 

8. D - кільце:

9. D:

10. , D- кільце:

11. D - кільце:

12. , D:

13. D - кільце:

14. D:

15. D- кільце:

16. D - кільце:

17. D:

18. D - кільце:

19. D - кільце:

20. D - кільце:

21. D:

22. D:

23. D - кільце:

24. D:

25. , D:

ІV. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ().

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. Паралелограм: А(1,-1), В(2,0), С(4,1), D(3,0).

24.

25.

V. Обчислити об'єми тіл, обмежених поверхнями:

1.

2.

3.

4.

5.

6. (

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

VІ. Обчислити криволінійний інтеграл ( 1-9 ); знайти функцію по її

повному диференціалу ( 10 - 13 ); обчислити криволінійний інтеграл за допомогою формули Гріна ( 14-20 ); обчислити площу плоскої фігури за

допомогою криволінійного інтеграла ( 21 - 23 ); визначити роботу силового поля при переміщенні матеріальної точки вздовж дуги кривої ( 24,25 ):

1. L - дуга параболи від т. О(0,0) до т. А(2,4).

2. L - дуга параболи від т. О(0,0) до т. А(2,4).

3. L- відрізок прямої, що з'єднує точки А(2,3),В(3,5).

4. L- дуга параболи ().

5. L- дуга параболи від т.С(0,0) до т.D(4,2).

6. L - кубічна парабола від т. А(0,0) до т. В(2, 2).

7. L - коло

8. від т. А(2,0) до т. В(0,1) по дузі еліпса

9. L - перша арка циклоїди від т. О(0,0) до т. А(2 ,0).

10.

11.

12.

13.

14. L - контур, утворений лініями и

15. L-

16. L- : А(а,0), В(а, а),С(0,а).

17. L- : А(1, 1), В(2,1),С(2,2).

18. L – коло:

19. L- : А(1, 0), В(2,0),С(1,2).

20. L – коло: (y>0), відрізки прямих

21. L: (астроїда). 22. (еліптичний сегмент).

23. (кардіоїда).

24. L: від т. А(2, 0) до т.В(-2, 0).

25. L:

ЛІТЕРАТУРА

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1978. – Т.2.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.:

Главная редакция физико-математической литературы,1985.

3. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа,1985.

4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике, часть ІV.-

Харьков: Издательство Харьковского государственного университета,1966.

5. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие. Ч. 2. – М.: Высшая школа, 1967.

6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1972.

7. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие для вузов. – 10-е издание. – М.: Наука,1990.

Навчальне видання

 

Швачич Геннадій Григорович

Коноваленков Володимир Степанович

Заборова Тамара Михайлівна

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

 

Розділ «Подвійні та криволінійні інтеграли»

Навчальний посібник

 

Тем. план 2011, поз. 293

 

Підписано до друку 13.05.2011. Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид. арк. 2,11. Умов. друк. арк. 2,09. Тираж 100 пр. Замовлення №

 

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ-5, пр. Гагаріна, 4

_______________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ