Обчислення площ плоских фигур

 

Площа S плоскої області D на площині ХОУ обчислюється за формулами

или .

Приклад 7. Знайти площу області D, обмеженої лініями х + у = 3.

Розв’язок. Розглянемо область інтегрування D (рис. 4.1) .

Точками перетину даних кривих будуть точки (0,3) и (5,-2). Дійсно,

Область D є правильною у напрямку осі О Х і границі інтегрування зовнішнього інтеграла будуть змінюватись від до . х при цьому буде мінятися «від прямої » до «параболи ». Це і є нижня та верхня границі для внутрішнього ін­теграла відповідно

Рис. 4.1

Приклад 8. Обчислити площу області, обмеженої прямими у = 5-2х, у = х+2,

х = 7у-10.

Розв’язок. Область інтегрування - трикутник

(рис. 4.2). Його вершинами є точки (1,3),(3,-1), (-4,-2) (шукаються шляхом сумісного розв’язання відповідних пар рівнянь прямих). Область D є

Рис. 4.2 16

правильна у обох напрямках. Її границя задана різними аналітичними виразами при будь-якому виборі порядку інтегрування. Тому розіб’ємо її на дві частини прямою х=1 (у точці с абсцисою х=1 має місце зміна рівняння лінії, що обмежує область зверху). У цьому випадку

Приклад 9. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х, у=0. Розв’язок. Рівняння кіл перетворюємо до канонічного вигляду Побудуємо область інтегрування D (рис. 4.3).

Переходячи до полярних коор­динат, одержуємо

Рис. 4.3 рівняння ліній, що оточують область D: Таким чином,

(кв. од.).

Практична рекомендація. Перехід до полярної системи координат необхідно проводити у тому випадку, якщо область D представляє собою круг (або частину круга), кругове кільце (або частину кругового кільця) та (або) у підінтегральної функції присутній вираз

ОБЧИСЛЕННЯ ОБ'ЄМІВ ТІЛ

Як було показано вище, об’єм V циліндроїда, обмеженого поверхнею

, дорівнює подвійному інтегралу від функції по області D: , а в прямокутних координатах

У полярних координатах

Приклад 10. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями

Розв’язок. Дане тіло - циліндроїд (рис. 5.1а), обмежений зверху поверхнею , тому

На площині XOY тіло вирізує трикутник, обмежений прямими х+ у=2, у = 2x, у = 0. Його вершинами є точки (0,0), (2,0) и (2/3,4/3) (рис. 5.1 б). Область D –

правильна у напрямку осі ОХ.

 

 

а б

Рис. 5.1

Приклад 11. Обчислити об'єм тіла, обмеженого площинами і параболоїдом (рис. 5.2 а).

Розв’язок. Зверху тіло обмежено параболоїдом, тому

Область D – квадрат: (рис. 5.2 б).

а б

Рис. 5.2

=

КРИВОЛІНІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ

Нехай т. М(х,у) переміщується вздовж деякої плоскої кривої L від т. Р до т. N. До точки М прикладена сила, що змінюється при русі:

, де

Рис. 6.1 - проекції сили на осі координат ОХ,ОУ.

Розбиваючи дугу РN на n часток і з’єднуючи точки розділу відрізками прямих, одержуємо вписану ламану лінію. Робота сили на i - ому відрізку ламаної визначається як скалярний добуток векторів (рис.6.1):
,

де значення проекцій сили у точці .

Додаючи елементарні роботи , одержуємо роботу сили на переміщенні

вздовж ламаної: , або

n- у інтегральну суму. Переходячи до границі у останньому виразі при
(при цьому, очевидно, ), одержимо роботу сили по кривій від т. Р до т. N (якщо ця границя існує)

Границя у правій частині називається криволінійним інтегралом іпозначається: