Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

Магнитное поле

Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

Основной физической величиной, характеризующей магнитное поле, является вектор магнитной индукции , определяющий силовое воздействие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу.

Для анализа магнитного поля в некоторой части пространства (рис.2.1) вводится понятие магнитного потока , ([ ] = Вб), определяемого как поток вектора сквозь поверхность

 

Магнитный поток может рассматриваться как совокупность линий магнитной индукции, проходящих через произвольную поверхность .

Приведенное интегральное соотношение позволяет трактовать магнитную индукцию как поверхностную плотность магнитного потока, поэтому очевидна связь [ ] = Тл = Вб/м².

 

 

Справедлив принцип непрерывности магнитного потока

 

утверждающий, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю то есть линии магнитной индукции непрерывны (рис.2.2).

Важным свойством линий магнитной индукции является то, что они обязательно охватывают электрический ток, создающий это магнитное поле. Ниже приведена картина магнитного поля токонесущего провода, сечение которого представлено на рис.2.3.

Направление тока (знак , изображенный на рисунке, означает уходящий от наблюдателя ток) связано с направлением магнитных силовых линий правилом правого винта.

 

 

Закон электромагнитной индукции

Рассмотрим находящуюся в магнитном поле поверхность , ограниченную контуром (рис.2.1). При изменении магнитного потока , проходящего через указанную поверхность, в контуре появляется (индуктируется) электродвижущая сила

Это соотношение носит название закона электромагнитной индукции и справедливо по отношению к любому замкнутому контуру, расположенному как в проводящей, так и в непроводящей среде. Знак “-” в этом выражении показывает, что э.д.с., возникающая в результате изменения магнитного потока, препятствует его изменению.

 

Потокосцепление

 

Рассмотрим катушку с током i, состоящую из нескольких витков (рис.2.4). Изобразим линии магнитной индукции, пересекающие поверхность , ограниченную этим контуром, и образующие поток . Из рисунка видно, что различные силовые линии пересекают указанную поверхность различное число раз. Для учета этого обстоятельства используется такое понятие, как потокосцепление . Потокосцепление можно получить, умножая поток магнитной индукции на число витков, с которым он сцепляется,

 

и складывая полученные произведения. При этом слагаемые берутся со знаком “плюс” для трубок, связанных с направлением тока правилом правого винта, в противном случае соответствующее слагаемое учитывается со знаком “минус”.

Э.д.с., индуктируемая в контуре, определяется величиной потокосцепления , поэтому

Если может быть принято допущение о том, что все линии магнитной индукции сцепляются со всеми витками катушки, потокосцепление и магнитный поток связаны простым соотношением

Электромагнитная сила

Под электромагнитной силой понимают силу, действующую на проводники с токами, расположенные в магнитном поле. Такие силы называют также электродинамическими. Электродинамическая сила может быть рассчитана при известной зависимости , где — обобщенная координата (рис.2.9), согласно соотношениям

Как и в случае электрического поля, выбор знака перед производной определяется видом выражения для .

В качестве иллюстрации рассмотрим уединенный контур с током. Учитывая известные соотношения

,

получим выражение для силы, стремящейся деформировать контур

или равноценное

При наличии двух контуров с токами их полные потокосцепления

и

Выражение для энергии магнитного поля двух контуров

с учетом равенства запишется в виде

Тогда сила, стремящаяся изменить взаимное расположение контуров (например, расстояние между ними), определится выражением

В заключение рассмотрим несколько задач, иллюстрирующих изложенный выше теоретический материал.

 

Задача 1. По сплошному цилиндрическому проводу радиуса протекает постоянный ток , который распределяется по сечению с постоянной плотностью (рис.2.10). Определить распределение напряженности магнитного поля как функцию расстояния r от оси провода. Рассчитать внутреннюю индуктивность провода.

 

Решение. Линии напряженности магнитного поля, создаваемого током , представляют собой концентрические окружности, центры которых располагаются на оси проводника. На рисунке 2.10 из всего множества магнитных силовых линий изображены две линии (одна внутри провода, другая снаружи). Напряженность магнитного поля определим на основании закона полного тока . Через произвольную точку внутри провода проведем замкнутый контур интегрирования, совпадающий с магнитной силовой линией радиуса r. При таком выборе контура вектора и совпадают по направлению, и в силу симметрии задачи можем записать

где - часть тока провода, протекающего внутри контура . Величина при постоянной по сечению плотности тока определится как , следовательно

откуда получаем искомую зависимость в виде

Для любой точки вне проводника решение будет отличаться лишь тем, что внутри контура интегрирования протекает весь ток провода . Поэтому при зависимость напряженности магнитного поля от координаты имеет вид

График функции представлен на рисунке 2.11. Индуктивность , обусловленная магнитным потоком внутри провода (так называемая внутренняя индуктивность), определяется через потокосцепление . С целью определения рассмотрим элементарный магнитный поток , проходящий через площадку шириной и длиной (рис.2.10)

где — магнитная проницаемость материала провода.

Так как магнитный поток сцеплен с током , то полное внутреннее потокосцепление оказывается равным

Таким образом, внутренняя индуктивность провода

Данное выражение справедливо только при равномерном распределении тока по сечению проводника, то есть при постоянном токе. Отметим также, что внутренняя индуктивность сплошного цилиндрического провода не зависит от его радиуса. Для проводника длиной один метр, изготовленного из материала с магнитной проницаемостью (медь, алюминий), внутренняя индуктивность = 5 ×10^-8 Гн.

Провод кроме внутренней индуктивности обладает внешней индуктивностью, определяемой магнитным потоком, замыкающимся вне провода. Для расчета величины этого потока необходимо задать геометрические размеры замкнутого контура, по которому протекает ток. В данном случае контур с током замыкается на бесконечности, что соответствует , стремящейся к бесконечности.

 

Задача 2. Кольцевая катушка прямоугольного сечения имеет витков (рис.2.12). Определить индуктивность катушки, если ее внутренний и внешний радиусы равны соответственно и , а высота .

Решение. Задачу решаем в предположении, что витки катушки тесно прилегают друг к другу. В этом случае практически все магнитные силовые линии замыкаются внутри обмотки и, имея вид концентрических окружностей, сцепляются со всеми витками. Поэтому потокосцепление где - магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки.

Магнитный поток сквозь площадку определим как

 

Используя закон полного тока и выбирая контур интегрирования совпадающим с магнитной силовой линией радиуса r и охватывающей полный ток , получаем . Выражение для потока определим интегрированием по сечению в виде

Индуктивность катушки равна:

Задачи для практических занятий и самостоятельной подготовки

1. Постоянный ток = 100 А протекает по сталеалюминиевому цилиндрическому полому проводу (рис.2.13). Характеристики внутреннего проводника (сталь) , = 8 10⁶ См/м, внешнего (алюминий) , = 4 10⁷ См/м. Внутренний радиус провода = 5 мм, радиус поверхности раздела сталь-алюминий = 10 мм, внешний радиус провода =15 мм. Найти зависимости плотности тока , напряженности магнитного поля и магнитной индукции в функции расстояния от оси провода.

Ответ: при

= 1,33 10 ³ Тл, = 1061 А/м, = 2,27 10⁵ А/м.

2. Бесконечно длинный провод с током и прямоугольная рамка расположены в воздухе в одной плоскости (рис.2.14). Число витков рамки , ее линейные размеры и , расстояние от рамки до провода . Определить э.д.с. взаимной индукции в рамке и взаимную индуктивность провода и рамки, если = 20, = 2 м, =1 м, = 2 м, = 5 А, = 314 1/с

 

Ответ: = 3,24 10^-6 Гн,

В.

 

3. Определить взаимную индуктивность рамки с числом витков и двухпроводной линии, если они расположены в одной плоскости. Геометрические размеры системы представлены на рис.2.15.

 

4. На рис.2.16 изображены сечения нескольких проводов с токами. Определить величину интеграла по замкнутому контуру при указанных направлениях токов в проводах и заданном направлении обхода контура интегрирования.

 

Магнитное поле

Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

Основной физической величиной, характеризующей магнитное поле, является вектор магнитной индукции , определяющий силовое воздействие магнитного поля на движущуюся заряженную частицу.

Для анализа магнитного поля в некоторой части пространства (рис.2.1) вводится понятие магнитного потока , ([ ] = Вб), определяемого как поток вектора сквозь поверхность

 

Магнитный поток может рассматриваться как совокупность линий магнитной индукции, проходящих через произвольную поверхность .

Приведенное интегральное соотношение позволяет трактовать магнитную индукцию как поверхностную плотность магнитного потока, поэтому очевидна связь [ ] = Тл = Вб/м².

 

 

Справедлив принцип непрерывности магнитного потока

 

утверждающий, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю то есть линии магнитной индукции непрерывны (рис.2.2).

Важным свойством линий магнитной индукции является то, что они обязательно охватывают электрический ток, создающий это магнитное поле. Ниже приведена картина магнитного поля токонесущего провода, сечение которого представлено на рис.2.3.

Направление тока (знак , изображенный на рисунке, означает уходящий от наблюдателя ток) связано с направлением магнитных силовых линий правилом правого винта.