Ур-е прямой,проходящей чз данную точку с данным угловым коэф-м.Ур-е прямой,проходящей чз 2 данные точки.

Прямоугольная система координат в пространстве.Уравнение поверхностей.Ур-е цилиндрической поверхности.

- Прямоугольная система координат Охуz в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных осей:Ох,Оу,Оz. Точка О-начало координат,Ох-ось абсцисс,Оу-ось ординат,Оz-ось аппликат.М-произвольная точка пространства,проведем чз точку 3 плоскости перпендикулярные координатам осям Ох Оу Оz.Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно чз Мх,Му,Mz.

Прямоугольными координатами М называют:х=ОМх,у=Ому,z=OMz.

-Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О₁ есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки O₁ на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками простран­ства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего ко­ординаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменны­ми х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M₁(x₁;y₁;z₁) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M₁ в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

- Цилиндрической поверхностью z=0

 

Ур-е прямой,проходящей чз данную точку с данным угловым коэф-м.Ур-е прямой,проходящей чз 2 данные точки.

- Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. В ряде случаев возникает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку M(x1,y1)

и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде(1) y=kx+b, где b пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку M1, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению y1=kx1+b Определяя Ь из этого равенства и подставляя в уравнение(1), получаем искомое уравнение прямой: y-y1=k(x-x1) (2)

Замечание. Если прямая проходит через точку М(x1,y1) перпендикулярно оси Ох, т. е. ее угловой

коэффициент обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид х — X1=0. Формально это уравнение можно получить из уравнения (2), если разделить уравнение (2) на k и затем устремить к k бесконечности.

-Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки M1(x1,y1), M2(x2,y2).Воспользовавшись уравнением y-y1=k(x-x1) (2) подставив наши точки,получим

Y2-y1=k(x2-x1) Определяя k из последнего равенства и подставляя его в уравнение 2), получаем искомое уравнение прямой: y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)

Это уравнение, если y1 не = y2, можно записать в виде =

 

5 ) Угол м/у 2-мя прмыми.Условие параллельности или перпендикулярности 2-х прямых.

- Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые L1 и L2. Пусть уравнение L1 имеет вид y=kx1+b1, k1=tgα1, а уравнение L2 y=kx2+b2, k2=tgα2.Пусть α-угол между прямыми L1 и L2(угол от нуля до п)

Tgα=tg(α2-α1)= или tgα=(k2-k1)/(1+k2*k1)

-Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Если прямые L1 и L2 параллельны,то α=0 и tgα=0. В этом случае числитель правой части формулы tgα=(k2-k1)/(1+k2*k1) равен нулю:

k2 — k1=0, откуда k2=k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны,т.е. α=п/2, то из tgα=(k2-k1)/(1+k2*k1) находим ctgα=(1+k2k1)/(k2-k1).В этом случае ctgп/2=0 и 1+ k1k2=0,откуда k2=-1/k1

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

6 ) Общее уравнение прямой и ее исследование.Ур-е прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой. (уравнение первой степени) Теорема. В прямоугольной системе координат Оху любая прямая задается уравнением первой степени Ax+By+C=0(1) и, обратно, уравнение (1) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху. Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая. Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой (или полным уравнением прямой). При различных значениях А, В, С оно определяет всевозможные прямые.

Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси

Ох, то, она определяется уравнением первой степени: y = kx + b, т. е. уравнением вида (1), где А = к, В=-1 и С=Ь. Если прямая перпендикулярна оси Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох. Уравнение этой прямой имеет вид х = а, т. е. также является уравнением первой степени вида (1), где А = 1, В = 0, С=—а. Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (1), причем хотя бы один из коэффициентов А и В не равен нулю.

Если В не =0, то (1) можно записать в виде у=-Аx/B-C/B. Полагая k= -A/B, b=-C/B, получаем

уравнение у = kх + b, т. е. уравнение вида (1), которое определяет прямую.

Если B = 0, то А не =0 и (1) принимает вид х= а.Обозначая через а, получаем х=а, т. е. уравнение

прямой, перпендикулярной оси Ох.

- Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ах + Ву + С = 0 является неполным, т. е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1) С=0; уравнение имеет вид Ах + Ву = 0 и оп- ределяет прямую, проходящую через начало ко-

ординат.

2) B=0 (А не = 0); уравнение имеет вид Ах + С=0 и определяет прямую, параллельную оси Оу. Как было показано в теореме, это уравнение приводится к виду х = а, где a=-C/A, а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Ох. В частности, если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким образом, уравнение х = 0 определяет ось ординат.

3) A = 0 (B не = 0); уравнение имеет вид Ву + С = 0 и определяет прямую, параллельную оси Ох. Этот факт устанавливается аналогично предыдущему случаю. Если положить –C/B=b, то уравнение принимает вид у =b, где b— величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу. В частности, если b = 0, то прямая совпадает с осью Ох. Таким образом, уравнение у = 0 определяет ось абсцисс. Пусть теперь дано уравнение Ах + Ву + С = 0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем его к виду

+ =1

Вводя обозначения a=-C/B,b=-C/B получаем (x/a+y/b)=1

Уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами

отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.